Toán Lớp 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh `S_(AEMF)

Question

Toán Lớp 9:  Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh S_(AEMF) = 1/2S_(ABC)

kimlien · Answer

X&eacute;t tứ gi&aacute;c $AEHF$ c&oacute;:    hat{EAF}=hat{AEH}= hat{AFH}=90&deg;   =>AEHF l&agrave; h&igrave;nh chữ nhật    =>AH=EF   Gọi $I$ l&agrave; giao điểm của $AM$ v&agrave; $EF$   Gọi $D$ l&agrave; giao điểm của $AH;EF$   =>DA=DF (t&iacute;nh chất h&igrave;nh chữ nhật)   =>∆DAF c&acirc;n tại $D$   => hat{DAF}= hat{DFA}   => hat{HAC}= hat{IFA}   $  $   $M$ l&agrave; trung điểm $BC$ (gt)   => $AM$ l&agrave; trung tuyến của $∆ABC$ vu&ocirc;ng tại $A$   =>AM=MC=1/2BC   =>∆MAC c&acirc;n tại $M$   => hat{MAC}= hat{MCA}   => hat{IAF}= hat{HCA}   $  $   X&eacute;t $∆ACH$ vu&ocirc;ng tại $H$   => hat{HAC}+ hat{HCA}=90&deg; (hai g&oacute;c phụ nhau)   => hat{IFA}+ hat{IAF}=90&deg;   =>∆AIF vu&ocirc;ng tại $I$   =>AM$ perp EF$ tại $I$   $  $   S_{AEMF}=S_{∆AEF}+S_{∆MEF}   =1/ 2 AI.EF+1/ 2 MI.EF=1/ 2 EF.(AI+MI)   =1/ 2 AH.AM=1/ 2 AH. 1/ 2 BC   =1/ 2 . 1/ 2 AH.BC=1/ 2 . S_{∆ABC}   Vậy S_{AEMF}=1/ 2 S_{∆ABC} (đpcm)