Toán Lớp 9: Cho Tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. CMR: BF. BA + CE .CA = BC^2

Question

Toán Lớp 9:  Cho Tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. CMR: BF. BA + CE .CA = BC^2

hiennhi98 · Answer

X&eacute;t hai tam gi&aacute;c : $&Delta;BFC$ v&agrave; $&Delta;BDA$ c&oacute; :   $ widehat{ABC} :$ G&oacute;c chung   $ widehat{BCF}= widehat{BAD}$ ( C&ugrave;ng phụ $ widehat{ABC}$ )   $&rArr;&Delta;BFC~&Delta;BDA ( g.g )$   $&rArr; dfrac{BF}{BD}= dfrac{BC}{BA}$   $&rArr;BF.BA=BC.BD$ $(1)$   X&eacute;t hai tam gi&aacute;c : $&Delta;CDA$ v&agrave; $&Delta;CEB$ c&oacute; :   $ widehat{ACB} :$ G&oacute;c chung   $ widehat{CAD}= widehat{CBE}$ ( c&ugrave;ng phụ $ widehat{ACB}$ )   $&rArr;&Delta;CDA~&Delta;CEB ( g.g )$   $&rArr; dfrac{CD}{CE}= dfrac{CA}{BC}$   $&rArr;CE.CA=BC.CD$ $(2)$   Từ $(1)$ v&agrave; $(2) &rArr; BF.BA+CE.CA=BC.BD+BC.CD$   $&hArr;BF.BA+CE.CA=BC.(BD+CD)=BC.BC=BC^2$

huongtructram · Answer

Giải đáp:       Lời giải và giải thích chi tiết:   X&eacute;t △HEC vu&ocirc;ng tại E v&agrave; △AFC vu&ocirc;ng tại F   C&oacute;: HCE l&agrave; g&oacute;c chung   => △HEC ᔕ △AFC (g.g)         &rArr;        E    C        F    C        =        H    C        A    C         &rArr;ECFC=HCAC      => FC . HC = EC . AC  (1)   X&eacute;t △HFB vu&ocirc;ng tại F v&agrave; △AEB vu&ocirc;ng tại E   C&oacute;: FBH l&agrave; g&oacute;c chung   => △HFB ᔕ △AEB (g.g)         &rArr;        F    B        E    B        =        H    B        A    B         &rArr;FBEB=HBAB      => FB . AB = EB . HB  (2)   X&eacute;t △BFC vu&ocirc;ng tại F v&agrave; △HDC vu&ocirc;ng tại D   C&oacute;: HCD l&agrave; g&oacute;c chung   => △BFC ᔕ △HDC (g.g)         &rArr;        F    C        D    C        =        B    C        H    C         &rArr;FCDC=BCHC      => FC . HC = BC . DC (3)   X&eacute;t △BEC vu&ocirc;ng tại E v&agrave; △BDH vu&ocirc;ng tại D   C&oacute;: HBD l&agrave; g&oacute;c chung   => △BEC ᔕ △BDH (g.g)         &rArr;        B    C        B    H        =        B    E        D    B         &rArr;BCBH=BEDB      => BC . DB = BE . BH (4)   Từ (1) v&agrave; (3) => EC . AC = BC . DC   Từ (2) v&agrave; (4) => FB . AB = BC . DB    Ta c&oacute;: BF . BA + CE . CA = BC . BD + BC . DC = BC . (BD + DC) = BC . BC = BC 2