Toán Lớp 9: Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE và CF. Gọi H là trực tâm của tam giác. a) Chứng minh 4 điểm A,E,H,F cùng nằm trên 1 đường tròn x

Question

Toán Lớp 9:  Cho tam giác ABC, các đường cao AD, BE và CF. Gọi H là trực tâm của tam giác. a) Chứng minh 4 điểm A,E,H,F cùng nằm trên 1 đường tròn xác định tâm I. b) gọi O là trung điểm BC. Chứng minh OE là tiếp điểm của đường tròn (I).

ngocbichchau · Answer

$∆ABC$ c&oacute; $H$ l&agrave; trực t&acirc;m v&agrave; $BE;CF$ l&agrave; hai đường cao     =>BE cắt $CF$ tại $H$    qquad  hat{AEH}= hat{AFH}=90&deg;   $  $   Gọi $I$ l&agrave; trung điểm $AH$   =>EI;FI lần lượt l&agrave; trung tuyến của hai tam gi&aacute;c vu&ocirc;ng $∆AEH; ∆A FH$   =>EI=AI=HI=1/ 2 AH=FI   =>AI=EI=HI=FI   =>A;E;H;F c&ugrave;ng thuộc đường tr&ograve;n t&acirc;m I đường k&iacute;nh $AH$ (đpcm)   $  $   b) V&igrave; $O$ l&agrave; trung điểm $BC$   =>EO l&agrave; trung tuyến $∆EBC$ vu&ocirc;ng tại $E$   =>EO=BO=1/ 2 BC   =>∆OBE c&acirc;n tại $O$   => hat{OEB}= hat{EBO}= hat{EBC} $(1)$   $  $   V&igrave; AI=EI (c&acirc;u a)   =>∆IAE c&acirc;n tại $I$   => hat{IAE}= hat{IEA}   => hat{DAC}= hat{IEA} $(2)$   $  $   Ta c&oacute;:  hat{DAC}= hat{EBC} (c&ugrave;ng phụ  hat{ECB})   Từ(1);(2)=> hat{IEA}= hat{OEB}   Ta c&oacute;:    qquad  hat{AEH}=90&deg;   => hat{IEA}+ hat{IEH}=90&deg;   => hat{OEB}+ hat{IEH}=90&deg;   => hat{OEI}=90&deg;   =>OE$ perp IE$ $(3)$   V&igrave; IE=1/ 2 AH=>IE l&agrave; b&aacute;n k&iacute;nh của đường tr&ograve;n (I) $(4)$   Từ (3);(4)=>OE l&agrave; tiếp tuyến tại E của đường tr&ograve;n (I)