Toán Lớp 9: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Trên nửa đường tròn lấy điểm C sao cho góc CBA = 300 . Trên tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn lấy điểm M sao cho BM = BC.
a) Tam giác ABC là tam giác gì ? Vì sao ?
b) Chứng minh BMC đều.
c) Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O;R).
d) OM cắt nửa đường tròn tại D và cắt BC tại E. Tính diện tích tứ giác OBDC theo R.
Leave a reply
Comments ( 1 )
a.
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn có BC là đường kính
=> ΔABC vuông tại C
Cách 2:
Ta có: OB = OA = OC = R = 1/2AB
Mà O là trung điểm của AB
=> OC là trung tuyến
=> ΔABC vuông tại C (vì có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh huyền)
b.
Theo đề ta có BC = BM
=> ΔMCB cân tại B
Mà BM là tiếp tuyến
=> hat (MBO) = 90^o
=> hat (CBM) = hat (MBO) – hat (CBA) = 90^o – 30^o = 60^o
=> ΔBMC đều (tam giác cân có một góc 60^o)
c.
Xét tam giác MOC và MOB có:
OM chung
MC = MB (tam giác đều)
OC = OB =R
=> ΔMOC = ΔMOB (c.c.c)
=> hat (OCM) = hat(OBM) = 90^o
=> OC ⊥ MC
=> MC là tiếp tuyến đường tròn (O;R)
d.
Ta có OM là đường phân giác trong tam giác đều BMC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Nên đồng thời là đường cao suy ra OM ⊥ BC tại E
mà hat (COM) = hat(BMO) = hatM /2 = 60^o/2 = 30^o
=> hat(OCM) = 90^o – 30^o = 60^o
Lại có OC = OD = R
=> ΔOCD đều (tam giác cân có góc 60^o)
=> CD = OD \qquad \qquad \qquad(1)
Chứng minh tương tự ta có Δ OBD đều
=> OB = BD \qquad \qquad \qquad(2)
Mà OC = OB = R
Kết hợp với (1) và (2) => OB = OC = CD = BD
Hay OBCD là hình thoi
Mặt khác ta có BC=\cos hat(CBA) * AB
=> BC = \cos 30^o * 2R
Mà OD = R
=> S_(OBCD) = 1/2* OD *BC
= 1/2 * R * \cos 30^o * 2R
= (R^2*\sqrt3)/2