Toán Lớp 9: Cho đường tròn (O,3 cm) và điểm A cách O là 5 cm. Vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn O(B và C là hai tiếp điểm ) .Vẽ đường kính CD.OA cắt BC tại H.
a)Chứng minh OA //BD.
b)Đường thẳng vuông góc với OA tại O cắt tia AB tại E và cắt BD tại F.Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AE
c)Chứng minh OE^3/OA^3=EF/AH
Leave a reply
Comments ( 1 )
Lời giải và giải thích chi tiết:
a.Ta có $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO\perp BC$
$CD$ là đường kính của $(O)\to BC\perp BD$
$\to BD//AO$
b.Ta có $AO//DB, OE\perp AO\to OE\perp BD$
$\to OE$ là trung trực $BD$
$\to \widehat{EDO}=\widehat{EBO}=90^o$ do $BE$ là tiếp tuyến của $(O)$
$\to DE\perp CD$
Do $AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AC\perp OC\to AC\perp CD$
$\to ACDE$ là hình thang vuông
Gọi $I$ là trung điểm $AE$
Vì $O$ là trung điểm CD$
$\to IO$ là đường trung bình hình thang $AEDC\to OI//DE//AC$
Do $DE\perp CD\to OI\perp CD$
Ta có $\Delta OAE$ vuông tại $O, I$ là trung điểm $AE$
$\to (I, IO)$ là đường tròn đường kính $AE$
Mà $CD\perp OI=I$
$\to CD$ là tiếp tuyến của $(I, IO)$
$\to CD$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $AE$
c.Ta có $\Delta AOE, \Delta ABO, \Delta BEO$ vuông tại $O, B,B$ và $BH\perp AO, BF\perp OE, OB\perp AE$
Nên ta áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông như sau:
Ta có:
$\dfrac{OE^2}{OA^2}=\dfrac{EB\cdot EA}{AB\cdot AE}=\dfrac{BE}{AB}$
$\to (\dfrac{OE^2}{OA^2})^2=(\dfrac{BE}{AB})^2$
$\to \dfrac{OE^4}{OA^4}=\dfrac{BE^2}{AB^2}=\dfrac{EF\cdot EO}{AH\cdot AO}=\dfrac{EF}{AH}\cdot \dfrac{OE}{AO}$
$\to \dfrac{OE^3}{OA^3}=\dfrac{EF}{AH}$
$\to đpcm$