Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 9: Cho các số thực $a,b,c$ thoả mãn $ab+bc+ca \leq 3abc$. Tính $min_P$: $P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}-(\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2a+2b}}

Tháng Chín 20, 2022 Toán học 1 Comment 0 views

Toán Lớp 9: Cho các số thực $a,b,c$ thoả mãn $ab+bc+ca \leq 3abc$. Tính $min_P$:
$P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}-(\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2a+2b}}+\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2b+2c}}+\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{2c+2a}})$

Comments ( 1 )

  1. dananhthumai
    dananhthumai
    20 Tháng Chín, 2022 at 5:38 sáng
    Reply
    Giải đáp + giải thích các bước giải:
    Xét A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}=\sqrt{(a+b)^2/(a+b)}+\sqrt{(b+c)^2/(b+c)}+\sqrt{(c+a)^2/(c+a)}=\sqrt{(a^2+b^2)/(a+b)+(2ab)/(a+b)}+\sqrt{(b^2+c^2)/(b+c)+(2bc)/(b+c)}+\sqrt{(c^2+a^2)/(c+a)+(2ca)/(c+a)}
    Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng \sqrt{x+y}>=(\sqrt{x}+\sqrt{y})/\sqrt{2}
    ->A>= (\sqrt{(a^2+b^2)/(2(a+b))}+\sqrt{(b^2+c^2)/(2(b+c))}+\sqrt{(c^2+a^2)/(2(c+a))}+\sqrt{(2ab)/(2(a+b))}+\sqrt{(2bc)/(2(b+c))}+\sqrt{(2ca)/(2(c+a))})
    ->P>=\sqrt{(ab)/(a+b)}+\sqrt{(bc)/(b+c)}+\sqrt{(ca)/(c+a)}
    Áp dụng bất đẳng thức Holder:
    (\sqrt{(ab)/(a+b)}+\sqrt{(bc)/(b+c)}+\sqrt{(ca)/(c+a)})^2((a+b)/(ab)+(b+c)/(bc)+(c+a)/(ca))>=(1+1+1)^3=27
    ->P^2>=27/((a+b)/(ab)+(b+c)/(bc)+(c+a)/(ca))=27/(1/a+1/b+1/b+1/c+1/c+1/a)=27/(2. (ab+bc+ca)/(abc))=(27abc)/(2(ab+bc+ca))>=(27abc)/(6abc)=9/2
    ->P>=(3sqrt{2})/2
    Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Audrey

About Audrey