Toán Lớp 9: Cho ΔABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có đường cao AD, BE, CF. Gọi H là trực tâm của ΔABC.
a) Chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp
b) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp
c) Kéo dài AH cắt (O) tại K. Chứng minh BC là đường phân giác của góc HCK
d) Chứng minh: AO ⊥ EF
Leave a reply
Comments ( 1 )
a) Vì:
BE ⊥ AC => $\widehat{BEA}$ = $90^o$
CF ⊥ AB => $\widehat{CFA}$ = $90^o$
=> $\widehat{HFA}$ + $\widehat{HEA}$ = $90^o$ + $90^o$ = $180^o$
=> Tứ giác AFHE nội tiếp
b) Vì:
CF ⊥ AB => $\widehat{BFC}$ = $90^o$
BE ⊥ AC => $\widehat{BEC}$ = $90^o$
=> $\widehat{BFC}$ = $\widehat{BEC}$ = $90^o$
=> Tứ giác BCEF nội tiếp
c) Vì:
AD ⊥ BC => $\widehat{ADC}$ = $90^o$
CF ⊥ AB => $\widehat{AFC}$ = $90^o$
=> $\widehat{ADC}$ = $\widehat{AFC}$ = $90^o$
=> Tứ giác AFDC nội tiếp
=> $\widehat{A_{1}}$ = $\widehat{A_{2}}$ ( = $\dfrac{1}{2}$ sđ $\mathop{BK}\limits^{\displaystyle\frown}$ )
=> $\widehat{C_{1}}$ = $\widehat{C_{2}}$
=> BC là đường phân giác của $\widehat{HCK}$
d) Kẻ tiếp tuyến Ax của (O) tại A
=> Ax ⊥ OA (1)
Vì tứ giác BCEF nôi tiếp
-> $\widehat{AFE}$ = $\widehat{ECB}$
Hay $\widehat{AFE}$ = $\widehat{ACB}$ = $\dfrac{1}{2}$sđ$\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$
Mà $\widehat{ABC}$ = $\dfrac{1}{2}$sđ$\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$
=> $\widehat{BAx}$ = $\widehat{AFE}$
Mà hai góc này ở vị trí so le trong => $Ax // EF$ (2)
Từ (1) và (2) => AO ⊥ EF (đpcm)
– GIANG –