Toán Lớp 9: Cho `a, b, c, x, y, z, m, n, p` là các số thực dương. `CM:(a^3 + b^3 + c^3) (x^3 + y^3 + z^3) (m^3 + n^3 + p^3) ≥ (axm + byn + czp)^3`

Question

Toán Lớp 9:  Cho a, b, c, x, y, z, m, n, p là các số thực dương.  CM:(a^3 + b^3 + c^3) (x^3 + y^3 + z^3) (m^3 + n^3 + p^3) ≥ (axm + byn + czp)^3

mocmien87 · Answer

Giải đáp + giải th&iacute;ch c&aacute;c bước giải:     Đ&acirc;y l&agrave; bất đẳng thức Holder:    (a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n})>=(root{m}{a_{1_1}a_{2_1}...a_{m_1}}+root{m}{a_{1_2}a_{2_2}...a_{m_2}}+...+root{m}{a_{1_n}a_{2_n}...a_{m_n}})^m     Chứng minh tổng qu&aacute;t:    &Aacute;p dụng bất đẳng thức C&ocirc;-si, ta c&oacute;:    (a_{1_1})/(a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})+(a_{2_1})/(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})+...+(a_{m_1})/(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n})>=m  root{m} {(a_{1_1}a_{2_1}...a_{m_1})/((a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n}))}   Tương tự, c&oacute;:   (a_{1_2})/(a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})+(a_{2_2})/(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})+...+(a_{m_2})/(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n})>=m  root{m} {(a_{1_2}a_{2_2}...a_{m_2})/((a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n}))}   ...   (a_{1_n})/(a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})+(a_{2_n})/(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})+...+(a_{m_1})/(a_{m_n}+a_{m_2}+...+a_{m_n})>=m  root{m} {(a_{1_n}a_{2_n}...a_{m_n})/((a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n}))}   Cộng tương ứng vế với vế c&aacute;c bất đẳng thức tr&ecirc;n, ta c&oacute;:   m>=m( root{m}{a_{1_2}a_{2_2}...a_{m_2}}+...+root{m}{a_{1_n}a_{2_n}...a_{m_n}})/( root{m}((a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n}))}    ->(a_{1_1}+a_{1_2}+...+a_{1_n})(a_{2_1}+a_{2_2}+...+a_{2_n})...(a_{m_1}+a_{m_2}+...+a_{m_n})>=(root{m}{a_{1_1}a_{2_1}...a_{m_1}}+root{m}{a_{1_2}a_{2_2}...a_{m_2}}+...+root{m}{a_{1_n}a_{2_n}...a_{m_n}})^m    Chứng minh với trường hợp ba bộ số:   &Aacute;p dụng bất đẳng thức C&ocirc;-si:    $ dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+ dfrac{x^3}{x^3+y^3+z^3}+ dfrac{m^3}{m^3+n^3+p^3}    ge  dfrac{3axm}{ sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$     $ dfrac{b^3}{a^3+b^3+c^3}+ dfrac{y^3}{x^3+y^3+z^3}+ dfrac{n^3}{m^3+n^3+p^3}    ge  dfrac{3byn}{ sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$     $ dfrac{c^3}{a^3+b^3+c^3}+ dfrac{z^3}{x^3+y^3+z^3}+ dfrac{p^3}{m^3+n^3+p^3}    ge  dfrac{3czp}{ sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$    Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế, c&oacute;:   (a^3+b^3+c^3)/(a^3+b^3+c^3)+(x^3+y^3+z^3)/(x^3+y^3+z^3)+(m^3+n^3+p^3)/(m^3+n^3+p^3)>=(3(axm+byn+czp))/ root{3}{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}    ->1>=(axm+byn+czp)/ root{3}{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}     ->1>=(axm+byn+czp)^3/((a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3))     ->(axm+byn+czp)^3<=(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)     Dấu bằng xảy ra khi a:m:x=b:n:y=c:n:z