Toán Lớp 9: Cho 3 số dương a,b,c tm : ab+bc+ca-3 . 1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a) ≥ (a+b+c)/6 +3/(a+b+c)

Question

Toán Lớp 9:  Cho 3 số dương a,b,c tm : ab+bc+ca-3 . 1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)  ≥ (a+b+c)/6 +3/(a+b+c)

minhtuquynh · Answer

Giải đáp:

Lời giải và giải thích chi tiết:

Với $ a, b, c > 0; ab + bc + ca = 3 $

Áp dụng BĐT cộng mẫu ta có:

$\dfrac{a^{2}}{ab + ca} + \dfrac{b^{2}}{bc + ab} + \dfrac{c^{2}}{ca + bc} >= \dfrac{(a + b + c)^{2}}{2(ab + bc + ca)}$

$ <=> \dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b} >= \dfrac{(a + b + c)^{2}}{6}$

$ <=> \dfrac{a}{b + c} + 1 + \dfrac{b}{c + a} + 1 + \dfrac{c}{a + b} + 1 >= \dfrac{(a + b + c)^{2}}{6} + 3$

$ <=> \dfrac{a + b + c}{b + c} + \dfrac{a + b + c}{c + a} + \dfrac{a + b + c}{a + b} >= \dfrac{(a + b + c)^{2}}{6} + 3$

$ <=> \dfrac{1}{b + c} + \dfrac{1}{c + a} + \dfrac{1}{a + b} >= \dfrac{a + b + c}{6} + \dfrac{3}{a + b + c} (đpcm)$

Dấu $’= <=> a = b = c = 1$

thaolanphuobg · Answer

$ text{$ frac{1}{a+b}$ +$ frac{1}{b+c}$ +$ frac{1}{c+a}$ &ge;$ frac{a+b+c}{6}$ +$ frac{3}{a+b+c}$ }$   $ text{&hArr;$ frac{a+b+c}{a+b}$ +$ frac{a+b+c}{b+c}$ +$ frac{a+b+c}{c+a}$&ge;$ frac{(a+b+c)&sup2;}{6}$+3}$   $ text{&hArr;&sum;($ frac{c}{a+b}$+1)&ge;$ frac{(a+b+c)&sup2;}{6}$+3}$   $ text{&hArr;$ frac{a}{b+c}$+$ frac{b}{c+a}$+$ frac{c}{a+b}$&ge;$ frac{(a+b+c)&sup2;}{6}$}$   $ text{&hArr;$ frac{a&sup2;}{ab+ca}$+$ frac{b&sup2;}{cb+ab}$+$ frac{c&sup2;}{ca+bc}$&ge;$ frac{(a+b+c)&sup2;}{6}$}$   $ text{&Aacute;p dụng bất đẳng thức Svac-xơ ,ta c&oacute;}$   $ text{$ frac{a&sup2;}{ab+ca}$+$ frac{b&sup2;}{cb+ab}$+$ frac{c&sup2;}{ca+bc}$&ge;}$   $ text{&ge;$ frac{(a+b+c)&sup2;}{2(ab+bc+ca)}$}$   $ text{=$ frac{(a+b+c)&sup2;}{6}$ (do ab+bc+ca=3)}$   $ text{&rArr;dpcm}$   $ text{Dấu '=' a=b=c=1 }$