Toán Lớp 9: Cho 3 điểm `A`,`B`,`C` phân biệt, cố định và thẳng hàng sao cho `B` nằm giữa `A` và `C` . Vẽ nửa đường tròn tâm `O` đường kính `BC`. Từ

Question

Toán Lớp 9:  Cho 3 điểm A,B,C phân biệt, cố định và thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C . Vẽ nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Từ A kẻ tiếp tuyến AM đến nửa đường tròn (O) (M là tiếp điểm ) . Trên cung MC lấy điểm E ( E không trùng với M và C ) , đường thẳng AE cắt nửa đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F( F không trùng với E). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng EF và H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng BC .  Chứng minh rằng : a, Tứ giác AMIO nội tiếp b, Hai tam giác OFH và OAF đồng dạng với nhau.

tonhitruc · Answer

Gọi R l&agrave; b&aacute;n k&iacute;nh của (O)     a) AM l&agrave; tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$     => hat{AMO}=90&deg;     $  $      qquad OE=OF=R     =>∆OEF c&acirc;n tại $O$     I l&agrave; trung điểm $E F$     =>OI vừa l&agrave; trung tuyến v&agrave; đường cao $∆OE F$     => hat{AIO}=90&deg;     => hat{AMO}= hat{AIO}=90&deg;     => Hai đỉnh M;I c&ugrave;ng nh&igrave;n cạnh $AO$ dưới g&oacute;c vu&ocirc;ng     =>AMIO nội tiếp (đpcm)     $  $     b)      $H$ l&agrave; h&igrave;nh chiếu vu&ocirc;ng g&oacute;c của $M$ l&ecirc;n $BC$ (gt)     =>MH$ perp BC$     =>MH$ perp OA$     X&eacute;t $∆AMO$ vu&ocirc;ng tại $M$ c&oacute; $MH perp OA$     =>OM^2=OH.OA (hệ thức lượng)     $  $     =>OF^2=OH.OA (v&igrave; OM=OF=R)     =>{O F}/{OA}={OH}/{OF}     $  $     X&eacute;t $∆O FH$ v&agrave; $∆OA F$ c&oacute;:      qquad  hat{O} chung      qquad {OF}/{OA}={OH}/{O F} (c/m tr&ecirc;n)     =>∆O FH∽∆OA F (c-g-c) (đpcm)