Toán Lớp 9: Cho 2020cái kẹo vào 1010 chiếc hộp sao cho không có hộp nào chứa nhiều hơn 1010 cái kẹo và mỗi hộp chứa ít nhất 1 cái kẹo. Chứng minh r

Question

Toán Lớp 9:  Cho 2020cái kẹo vào 1010 chiếc hộp sao cho không có hộp nào chứa nhiều hơn 1010 cái kẹo và mỗi hộp chứa ít nhất 1 cái kẹo. Chứng minh rằng có thể tìm thấy một số hộp mà tổng số kẹo trong các hộp đó bằng1010cái.

maianhtuanh · Answer

Giải đáp:       Lời giải và giải thích chi tiết:   TH1:     Tất cả c&aacute;c hộp c&oacute; số kẹo bằng nhau v&agrave; bằng 2, khi đ&oacute; lấy        505     505  chiếc hộp bất kỳ ta sẽ c&oacute; tổng số kẹo l&agrave;        1010.     1010.     TH2:     Tồn tại hai hộp c&oacute; số kẹo kh&aacute;c nhau, khi đ&oacute; ta sắp xếp c&aacute;c hộp th&agrave;nh một h&agrave;ng ngang sao cho hai hộp đầu ti&ecirc;n kh&ocirc;ng c&oacute; c&ugrave;ng số kẹo, k&yacute; hiệu            a      i         ai  l&agrave; số kẹo trong hộp thứ        i    ,     i,       i    =    1    ;    2    ;    .    .    .    .    .    ;    1010     i=1;2;.....;1010  .   X&eacute;t c&aacute;c số          ⎧  ⎪ ⎪ ⎪  ⎨  ⎪ ⎪ ⎪  ⎩              S      1        =        a      1                  S      2        =        a      1        +        a      2        +    .    .    .    .    .          .    .    .    .    .    .              S        1010          =        a      1        +        a      2        +    .    .    .    .    .    +        a        1010                   {S1=a1S2=a1+a2+...........S1010=a1+a2+.....+a1010     với         1    &le;        a      i        &le;    1010     1&le;ai&le;1010     Nếu tồn tại hai số trong            S      1        ;        S      2        ;    .    .    .    .    ;        S        1010           S1;S2;....;S1010  c&oacute; c&ugrave;ng số dư khi chia cho 1010, giả sử l&agrave;            S      i        ,        S      j         (      i    <    j      )      Si,Sj(i<j)     th&igrave;            S      j        &minus;        S      i        =     (          a        i    +    1          +    .    .    .    .    .    .    +        a      j          )         ⋮        1010.     Sj&minus;Si=(ai+1+......+aj)⋮1010.     Do        1    &le;        S      j        &minus;        S      i        &le;    2019    ;           (          S      j        &minus;        S      i          )         ⋮        1010     1&le;Sj&minus;Si&le;2019;(Sj&minus;Si)⋮1010     n&ecirc;n            S      j        &minus;        S      i        =    1010     Sj&minus;Si=1010     hay            a        i    +    1          +    .    .    .    .    .    .    .    +        a      j        =    1010.     ai+1+.......+aj=1010.     Nếu trong            S      1        ;        S      2        ;    .    .    .    .    .    .        S        1010           S1;S2;......S1010     kh&ocirc;ng c&oacute; hai số n&agrave;o c&oacute; c&ugrave;ng số dư khi chia cho 1010  (1)   X&eacute;t        1011     1011     số            S      1        ;        S      2        ;    .    .    .    .    .    .    ;        S        1010          ,        a      2         S1;S2;......;S1010,a2  , theo nguy&ecirc;n l&yacute; Dirichle tồn tại hai số c&oacute; c&ugrave;ng số dư khi chia cho 1010. M&agrave;            S      1        =        a      1        &ne;        a      2        ,    1    &le;        a      1        ,        a      2        &le;    1010     S1=a1&ne;a2,1&le;a1,a2&le;1010     n&ecirc;n            S      1        ,        a      2         S1,a2     kh&ocirc;ng c&ugrave;ng số dư khi chia cho 1010  (2).   Từ (1) v&agrave; (2) suy ra tồn tại        k    &isin;     {      2    ;    3    ;    .    .    .    .    .    ;    1010      }      k&isin;{2;3;.....;1010}  sao cho            S      k        ,        a      2         Sk,a2     c&ugrave;ng số dư khi chia cho 1010.   Khi đ&oacute;:            S      k        &minus;        a      2        =        a      1        +        a      3        +    .    .    .    .    .    .    .    +        a      k        ⋮    1010     Sk&minus;a2=a1+a3+.......+ak⋮1010  .   M&agrave;        1    &le;        a      1        +        a      3        +    .    .    .    .    .    .    .    +        a      k        &le;    2019    &rArr;        a      1        +        a      3        +    .    .    .    .    .    +        a      k        =    1010