Toán Lớp 8: tìm gtnn của (x+y)^2+(x+1)^2+(y-2)^2

Question

Toán Lớp 8:  tìm gtnn của (x+y)^2+(x+1)^2+(y-2)^2

thucquyenlan · Answer

Giải đáp:

Lời giải và giải thích chi tiết:

C1:

Áp dụng BĐT $ 3(a^{2} + b^{2} + c^{2}) >= (a + b + c)^{2}$

$ A = (x + y)^{2} + (x + 1)^{2} + (y – 2)^{2} $

$ 3A = 3[(x + y)^{2} + (- x – 1)^{2} + (2 – y)^{2}$

$ >= (x + y – x – 1 + 2 – y)^{2} = 1^{2} = 1$

$ => A >= \dfrac{1}{3}$

$ <=> x + y = – x – 1 = 2 – y <=> x = – \dfrac{4}{3}; y = \dfrac{5}{3}$

C2:

$ A = (x + y)^{2} + (x + 1)^{2} + (y – 2)^{2} $

$ = 2x^{2} + 2xy + 2y^{2} + 2x – 4y + 5$

$ => 6A = 12x^{2} + 12xy + 12y^{2} + 12x – 24y + 30$

$ = 3(4x^{2} + 4xy + y^{2}) + 6(2x + y) + 9y^{2} – 30y + 25 + 5$

$ = 3[(2x + y)^{2} + 2(2x + y) + 1] + (3y – 5)^{2} + 2$

$ = 3(2x + y + 1)^{2} +'(3y – 5)^{2} + 2 >= 2$

$ => A >= \dfrac{1}{3}$

Vậy $ GTNN$ của $ A = \dfrac{1}{3} $ xảy ra khi:

$ 2x + y + 1 = 3y – 5 = 0 <=> x = – \dfrac{4}{3}; y = \dfrac{5}{3}$

Comments ( 1 )