Toán Lớp 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x^2 – 4xy + 5y^2 + 10x – 22y + 28

Question

Toán Lớp 8:  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  C = x^2 – 4xy + 5y^2 + 10x – 22y + 28

tuyetnhungthu · Answer

$  $   C=x^2-4xy + 5y^2+10x-22y+28   =(x^2-4xy+4y^2) + (10x - 20y) + (y^2-2y+1)+27   =(x-2y)^2 + 2 . (x-2y) . 5 +5^2 + (y-1)^2+2   =(x-2y+5)^2 + (y-1)^2+2 ge 2 với mọi x,y   Dấu '=' xảy ra khi :   x-2y+5=0,y-1=0   &harr; x-2y=-5,y=1   &harr; x=-3,y=1   Vậy min C=2&harr;x=-3,y=1

hoaiphuong85 · Answer

Giải đáp:       Lời giải và giải thích chi tiết:   $  C = x&sup2; - 4xy + 5y&sup2; + 10x - 22y + 28 $   $   C = x&sup2; - 4xy + 4y&sup2; + y&sup2; + 10x - 20y - 2y + 1 + 25 + 2 $   $   C = (x&sup2; - 4xy + 4y&sup2;) + (10x - 20y) + 25 + (y&sup2; - 2y + 1) + 2 $   $   C = [(x - 2y)&sup2; + 10(x - 2y) + 5&sup2;] + (y - 1)&sup2; + 2 $   $   C = [(x - 2y)&sup2; + 2.5(x - 2y) + 5&sup2;] + (y - 1)&sup2; + 2 $   $   C = (x - 2y + 5)&sup2; + (y - 1)&sup2; + 2 $    Ta thấy  : $   (x - 2y + 5)&sup2; &ge; 0 $                 $   (y - 1)&sup2; &ge; 0 $   $   &rArr; (x - 2y + 5)&sup2; + (y - 1)&sup2; &ge; 0 $   $   &rArr; (x - 2y + 5)&sup2; + (y - 1)&sup2; + 2 &ge; 2 $     với mọi x , y    $   &rArr; C &ge; 2 $      với mọi x, y     Dấu '=' xảy ra khi :    &rArr; $ left  { {{x - 2y + 5 = 0}  atop {y - 1 = 0}}  right.$    &rArr; $ left  { {{x - 2y = -5}  atop {y = 1}}  right.$    Thay $   y = 1 $ v&agrave;o biểu thức $   x - 2y = - 5 $ ta được :   $   &rArr; x - 2.1 = - 5 $   $   &rArr; x - 2 = - 5 $   $   &rArr; x = - 3 $   Vậy GTNN của $   C = 2 $ khi $   x = - 3$  v&agrave; $  y = 1 $