Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 8: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có bất đẳng thức $(a+b)^{n}$ ≤ $2^{n-1}$ .( $a^{n}$ + $b^{n}$ ) Dùng phép chứng minh quy

Tháng Tám 5, 2022 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 8: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có bất đẳng thức
$(a+b)^{n}$ ≤ $2^{n-1}$ .( $a^{n}$ + $b^{n}$ )
Dùng phép chứng minh quy nạp
Giúp em với ạ

Comments ( 2 )

  1. ngocbichchau
    ngocbichchau
    5 Tháng Tám, 2022 at 3:21 sáng
    Reply
    $\\$
    Với n=1 
    => (a+b)^1 ≤ 2^{1-1} . (a^1+b^1)
    => a+b ≤ a + b (Luôn đúng)
    Với n=2
    => (a+b)^2 ≤ 2^{2-1} . (a^2 + b^2)
    => (a+b)^2 ≤ 2(a^2+b^2) (Luôn đúng)
    Giả thiết BĐT đúng với n=k(k≥1) ta sẽ chứng minh BĐT luôn đúng với n=k+1
    Tức là ta chứng minh : (a+b)^{k+1} ≤ 2^k (a^{k+1}+b^{k+1})
    ⇔ (a^{k+1}+b^{k+1})/2 ≥ (a+b)^{k+1}/2^{k+1}=((a+b)/2)^{k+1}
    Xét hiệu :
    (a^{k+1}+b^{k+1})/2 – ((a+b)/2)^{k+1}
    = (a^{k+1}+b^{k+1})/2 – ((a+b)/2)^k . (a+b)/2
    ≥ (a^{k+1}+b^{k+1})/2 – (a^k +b^k)/2 . (a+b)/2
    ≥ (a^{k+1}+b^{k+1})/2 – (a^{k+1}+a^k b + ab^k+b^{k+1})/4
    ≥ (a^{k+1} + b^{k+1}-a^k b – ab^k)/4 = ((a^{k+1} – a^kb) + (b^{k+1} – ab^k))/4 = ((a-b)(a^k – b^k))/4 ≥ 0 
    => (a^{k+1}+b^{k+1})/2 – ((a+b)/2)^{k+1} ≥ 0
    => (a^{k+1}+b^{k+1})/2 ≥ ((a+b)/2)^{k+1} 
    Vậy BĐT (a+b)^n ≤ 2^{n-1} . (a^n + b^n) 

  2. hatuanlan
    hatuanlan
    5 Tháng Tám, 2022 at 3:21 sáng
    Reply
    a,b có VT tương đương nhau
    Để cho bài toán không mất tính tổng quát giả sử a>b
    Cần cm BĐT tương đương $a^{n}$ +$b^{n}$/2≥($\frac{a+b}{2}$ )^n
    Kiểm tra khi n=1.Mệnh đề đúng
    Giả sử mệnh đề đúng đến n=k
    =>$a^{k}$ +$b^{k}$ /2≥($\frac{a+b}{2}$ )^k    (1)
    Cần phải cm mệnh đề đúng đến k+1 hay cần phải cm $a^{k+1}$ +$b^{k+1}$ /2≥($\frac{a+b}{2}$ )^k+1
    Nhân 2 vế của (1) với phân số $\frac{a+b}{2}$  ta đc
    ($a^{k}$ +$b^{k}$ /2).$\frac{a+b}{2}$  ≥($\frac{a+b}{2}$ )^k.$\frac{a+b}{2}$
    <=>$a^{k+1}$ +$a^{k}$b+a$b^{k}$+$b^{k+1}$ /4≥($\frac{a+b}{2}$ )^k+1
    Cần cm $a^{k+1}$ +$b^{k+1}$ /2≥$a^{k+1}$ +$a^{k}$b+a$b^{k}$+$b^{k+1}$ /4
    <=> 2$a^{k+1}$ +2$b^{k+1}$ /4≥$a^{k+1}$ +$a^{k}$b+a$b^{k}$+$b^{k+1}$ /4
    <=>$a^{k+1}$ +$b^{k+1}$≥$a^{k}$b+a$b^{k}$
    <=>$a^{k+1}$ +$b^{k+1}$-$a^{k}$b-a$b^{k}$≥0
    <=>($a^{k}$ -$b^{k}$ )(a-b)≥0 (đúng vì a>b>0)
    =>Mệnh đề đúng đến k+1
    =>đpcm
    Cmtt với TH còn lại b>a
     

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Quỳnh

About Quỳnh