Toán Lớp 8: Chứng minh rằng: `n^3-n` chia hết cho `6` với mọi số nguyên `n`

Question

Toán Lớp 8:  Chứng minh rằng: n^3-n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

maingoctruc · Answer

A=n^{3} - n    A=n(n^{2}-1)   A=n(n-1)(n+1)   $ text{V&igrave; n -1 , n , n+1 l&agrave; ba số tự nhi&ecirc;n li&ecirc;n tiếp}$   $ text{+Chắc chắn sẽ c&oacute; 1 số chẵn}$   $ Rightarrow$ $ text{(n-1).n.(n+1)}$ $ vdots$ $ text{2}$   $ text{+Chắc chắn sẽ c&oacute; 1 số }$ $ vdots$ $ text{3}$   $ text{V&igrave; (n -1) . n . (n+1)}$ $ vdots$ $ text{3}$   $ text{M&agrave; 2 v&agrave; 3 nguy&ecirc;n tố c&ugrave;ng nhau}$            $ Rightarrow$ A $ vdots$ 6   $ text{Vậy b&agrave;i to&aacute;n được chứng minh}$

thienthanh · Answer

Giải đáp:    B&ecirc;n dưới   Lời giải và giải thích chi tiết:     Ta c&oacute;: n^3 - n    = n.(n^2 -1)    = n.(n+1).(n-1)   = (n-1).n.(n+1)   Ta c&oacute;:(n-1).n.(n+1) l&agrave; t&iacute;ch 3 số tự nhi&ecirc;n li&ecirc;n tiếp n&ecirc;n (n-1).n.(n+1) chia hết cho 2, 3    ( Cụ thể hơn: n.(n+1) chia hết cho 2 v&igrave; l&agrave; t&iacute;ch 2 số nguy&ecirc;n li&ecirc;n tiếp, (n-1).n.(n+1) chia hết cho 3 v&igrave; l&agrave; t&iacute;ch 3 số tự nhi&ecirc;n li&ecirc;n tiếp)   M&agrave; (2,3) = 1   &rArr; (n-1).n.(n+1) chia hết cho 2.3   &rArr; (n-1).n.(n+1) chia hết cho 6    &rArr; n^3 -n chia hết cho 6 với mọi n &isin; Z (đpcm)    @Active Activity