Toán Lớp 8: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H
a, Tính tổng (HD)/(AD) + (HE)/(BE) + (HF)/(CF)
b, CM : BE . BH + CH . CF = BC^2
c, CM : H cách đều ba cạch tam giác DEF
d, Trên các đoạn thẳng HB,HC lấy các điểm M,N tùy ý sao cho HM = CN . Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định
Leave a reply
Comments ( 1 )
Gợi ý chứng minh như sau :
a,
S_{\triangle ABC}=1/2 . AD . BC
S_{\triangle BHC}=1/2 . HD . BC
-> S_{\triangle BHC}/S_{\triangle ABC}=(HD)/(AD)
Tương tự ta được :
S_{\triangle AHC}/S_{\triangle ABC}=(HE)/(BE)
S_{\triangle AHB}/S_{\triangle ABC}=(HF)/(CF)
Cộng theo vế
-> S_{\triangle ABC}/S_{\triangle ABC}=(HD)/(AD)+(HE)/(BE) + (HF)/(CF)
-> (HD)/(AD)+(HE)/(BE)+(HF)/(CF)=1
b,
\triangle BDH và \triangle BEC có :
hat{B_1} chung và hat{BDH}=hat{BEC}=90^o
->\triangle BDH đồng dạng \triangle BEC
-> (BH)/(BD)=(BC)/(BE)
->BH . BE = BD . BC
Chứng minh tương tự : \triangle CDH đồng dạng \triangle CFB
-> (CH)/(CD)=(CB)/(CF)
->CH . CF = BC . CD
Cộng theo vế ta được :
BE.BH +CH . CF = BC (CD+BD)=BC^2
c,
Khá dễ dàng chứng minh được :
\triangle AEF đồng dạng \triangle ABC
->hat{AEF}=hat{ABC} (1)
\triangle CED đồng đạng \triangle CBA
->hat{CED}=hat{CBA}(2)
(1)(2)->hat{AEF}=hat{CED}
Lại có : hat{AEF}+hat{FEB}=90^o,hat{CED}+hat{DEB}=90^o
->hat{FEB}=hat{DEB}
-> EB là phân giác hat{DEF}
Chứng minh tương tự :
FC là phân giác hat{DFE}
DA là phân giác hat{FDE}
\triangle DEF có : EH,FH, DH là các đường phân giác và giao nhau tại H
->H là giao của các đường phân giác
->H cách đều 3 cạnh của \triangle DEF
d,
Gọi V là giao của đường trung trực đoạn FC với MN
-> HV=CV, MV=NV
Do đó thì \triangle VMH=\triangle VNC
-> hat{VHM}=hat{VCN} (*)
HV=CV ->\triangle HVC cân tại V
->hat{VHN}=hat{VCN} (**)
(*)(**) ->hat{MHV}=hat{NHV}
->HV là phân giác hat{BHC}
-> V cố định
-> Đường trung trực của MN luôn đi qua 1 điểm cố định