Toán Lớp 8: `Cho` `n∈N`. Chứng minh `n^5` và `n` có cùng số tận cùng

Question

Toán Lớp 8:  Cho n∈N. Chứng minh n^5 và n có cùng số tận cùng

khanhlanchau · Answer

Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:     X&eacute;t n^ 5 &minus; n    = n ( n ^4 &minus; 1 )   = n ( n ^2 + 1 ) ( n ^2&minus; 1 )   = n ( n ^2 + 1 ) ( n &minus; 1 ) ( n + 1 )   = n ( n &sup2; &minus; 4 ) ( n &minus; 1 ) ( n + 1 ) + 5 n ( n &minus; 1 ) ( n + 1 )   = n ( n &minus; 2 ) ( n + 2 ) ( n &minus; 1 ) ( n + 1 ) + 5 n ( n &minus; 1 ) ( n + 1 )   M&agrave; n ; n &minus; 2 ; n + 2 ; n &minus; 1 ; n + 1 l&agrave; 5 số tự nhi&ecirc;n li&ecirc;n tiếp n&ecirc;n sẽ tồn tại 1 số  vdots 2 v&agrave; 1 số  vdots 5   =>n ( n &minus; 2 ) ( n + 2 ) ( n &minus; 1 ) ( n + 1 )  vdots 10 (1)   Ta c&oacute; n ; n &minus; 1; n + 1 l&agrave; 3 số tự nhi&ecirc;n li&ecirc;n tiếp n&ecirc;n sẽ tồn tại 1 số  vdots 2 .   =>5 n ( n &minus; 1 ) ( n + 1 )  vdots 10 (2)   Từ (1);(2 )=>n^ 5 &minus; n  vdots 10   => ĐPCM

aivilanlan · Answer

$ text{Ta c&oacute;:$n^{5}$-n}$   $ text{=n($n^{4}$-1)}$   $ text{=n(n&sup2;-1)(n&sup2;-4+5)}$   $ text{=n(n&sup2;-1)(n&sup2;-4)+5n(n&sup2;-1)}$   $ text{=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)}$   $ text{Ta lại c&oacute;:}$   $ text{(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) l&agrave; 5 số tự nhi&ecirc;n li&ecirc;n tiếp}$   $ text{&rArr;(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1) $ vdots$ 10 (1)}$   $ text{Lại c&oacute; (n-1) n (n+1) l&agrave; 3 số tự nhi&ecirc;n li&ecirc;n tiếp}$   $ text{&rArr;5(n-1)n(n+1) $ vdots$ 10 (2)}$   $ text{Từ(1) v&agrave;(2)&rArr;$n^{5}$ v&agrave; n c&oacute; c&ugrave;ng chữ số tận c&ugrave;ng}$