Toán Lớp 8: Cho hình vuông ABCD , Trên canh AB , BC CD , DA lần lượt lấy các điểm M,N,P,Q sao cho AM=BN=CP=DQ . Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuô

Question

Toán Lớp 8:  Cho hình vuông ABCD , Trên canh AB , BC CD , DA lần lượt lấy các điểm M,N,P,Q sao cho AM=BN=CP=DQ . Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông

huenthanh97 · Answer

Giải đáp:

Lời giải và giải thích chi tiết:

Ta có: AB = BC = CD = DA (giả thiết)

AM = BN = CP = DQ (giả thiết)

⇒: PD = QA = MB = NC

Xét ΔCPN và ΔDQP,ta có:

CP = DQ (giả thiết)

hat(PCN) = hat(PDQ) = 90°

NC = DP (chứng minh trên)

⇒ΔCPN ΔDQP (c.g.c) ⇒ PN = PQ

Xét ΔDQP và ΔAMQ,ta có: DQ=AM (giả thiết)

hat(QDP) = hat(MAQ) = 90^o
PD = QA ( chứng minh trên)

⇒: ΔDQP = ΔAMQ (c.g.c) ⇒ PQ = QM

* Xét ΔAMQ và ΔBNM,ta có: AM=BN (giả thiết)

hatA = hatB = 90^o

BM = AQ ( chứng minh trên)

⇒: ΔAMQ = ΔBNM (c.g.c) ⇒ QM = MN

Từ các ý trên ⇒: QP =PN = NM = MQ

Hay tứ giác MNPQ là hình thoi.

Mặt khác: ΔCPN = ΔPDQ

⇒ hat(CNP) = hat(DPQ)

Mà hat(CNP) + hat(CPN) = 90^o

⇒ hat(DPQ) + hat(CPN) = 90^o

Ta có: hat(DPQ) + hat(QPN) + hat(NPC ) = 180^o

⇒: hat(QPN ) = 180^o

– hat(DPQ ) + hat(NPC) )= 180^o – 90^o = 90^o

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.