Toán Lớp 8: cho hình vuông ABCD . M nằm trên BD . Từ M kẻ vuông góc tới AB và AD (E thuộc AB , F thuộc AD) a) Chứng minh DE bằng CF b) CHỨNG MIN

Question

Toán Lớp 8:  cho hình vuông ABCD .  M nằm trên BD .  Từ M kẻ vuông góc tới AB và AD (E thuộc AB , F thuộc AD) a) Chứng minh DE bằng CF  b) CHỨNG MINH DE , BF ,CM đồng quy

quynhmaithu · Answer

a: Ta có AEMF là HCN -> AE=FM
tam giác DFM vuông cân tại F -> FM=DF
-> AE=DF , ta có : tam giác ADE = tam giác DCF
-> DE=CF
b: tương tự như câu a, ta thấy :
AF=BE
-> tam giác ABF = tam giác BCE
-> góc ABF = góc BCE -> BF vuông góc với CE
Gọi H là giao điểm của BF và DE, ta có :
H là trực tâm của tam giác CEF
Gọi N là giao điểm của BC và MF
CN=DF=AE và MN=EM=AF
tam giác AEF = tam giác CMN
-> góc AEF = góc MCN
-> CM vuông góc với EF
-> DE,BF,CM đồng quy tại H
#chucbanhoctot

dananhthumai · Answer

Giải đáp + giải th&iacute;ch c&aacute;c bước giải :      $  $ $ bullet$ V&igrave; ABCD l&agrave; h&igrave;nh vu&ocirc;ng (gt)   $  $ => {(AB = BC = CA = AD (1) ),(hat(ABC) = hat(A) = hat(ADC) = hat(DAC) = 90^o):}   $  $ Nối BD    $  $=> BD l&agrave; tia ph&acirc;n gi&aacute;c của hatABC   $  $ => hat(ABD) = hat(DBC) = hat(ABC)/2 = 90^o/2 = 45^o   $  $ V&igrave; : ME bot AB (gt) $  $  => triangleMEB vu&ocirc;ng tại E    $  $ M&agrave; : hat(ABD) = hat(EBM) = 45^o (cmt)   $  $ => triangle MEB vu&ocirc;ng c&acirc;n tại E    $  $ => ME = BE (t//c)   $  $ X&eacute;t tứ gi&aacute;c AEMF c&oacute; : hatA = hat(AEM) = hat(AFM) = 90^o   $  $ => AEMF l&agrave; h&igrave;nh chữ nhật   $  $ => AF = EM = BE (ME = BE) (2)    $  $ Từ (1);(2) => AB - BE = AD - AF => AE = DF   $  $ X&eacute;t triangleADE v&agrave; triangle DCF c&oacute; : $  $ {(AE = DF(cmt) ),( hat(A) = hat(CDF) = 90^o),(AD = DC (cmt)):}   $  $ => triangleADE = triangle DCF (c.g.c)   $  $ => DE = CF  ( 2 cạnh tương ứng)   $  $ b) Kẻ FM cắt BC tại N    $  $ $ bullet$ Chứng minh ABNF; FNCD l&agrave; h&igrave;nh chữ nhật   $  $ Từ đ&oacute; dễ d&agrave;ng chứng minh được : $  $ triangle AEF = triangle NCM (c.g.c)   $  $ => hat(AFE) = hat(NMC)  (2 g&oacute;c tương ứng)   $  $ M&agrave; : hat(NMC) = hat(PNF) (2 g&oacute;c đối đỉnh)   $  $ => hat(AFE) = hat(PNF)   $  $ Ta c&oacute; :  hat(AFE) + hat(EFM) = 90^o   $  $ => hat(EFM) + hat(PNF)  = 90^o   $  $ => hat(FPM) = 90^o   $  $ => CF bot EF   $  $ $ bullet$ X&eacute;t triangle ABF  v&agrave; triangle BCE c&oacute; : $  $ {(hatA = hat(EBC) = 90^o),(AB = BC(cmt)),(AF= BE(cmt)):}   $  $ => triangle ABF = triangle BCE (c.g.c)   $  $ => hat(ECB) = hat(ABF)  (2 g&oacute;c tương ứng)   $  $ M&agrave; : hat(ECB) + hat(BEC) = 90^o    $  $ => hat(ABF) + hat(BEC) = 90^o    $  $ => BF bot CE    $  $ Chứng minh tương tự, ta được : DE bot CF   $  $ Gọi S l&agrave; giao điểm củ BF;DE   $  $ X&eacute;t triangle ECF c&oacute; : BF bot CE ; DE bot CF    $  $ => S  l&agrave; trực t&acirc;m của triangle ECF   $  $ M&agrave; : CF bot EF (cmt)   $  $ => CF đi qua S   $  $ => DE;BF;CM đồng quy