Toán Lớp 8: Cho hình vuông ABCD. Các điểm E, F, G, H, theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD,
DA sao cho AE = BF = CG = DH.
a) Tứ giác EFGH là hình gì.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng EG, FH, AC, BD đồng qui tại O
c) Tính diện tích tứ giác EFGH biết OE = 5cm
d) Tìm diện tích nhỏ nhất của tứ giác EFGH.
Leave a reply
Comments ( 1 )
a,
ABCD là hình vuông
->hat{DAB}=hat{ABC}=hat{BCD}=hat{ADC}=90^o
Và $AB//CD, AD//BC, AB=BC=CD=AD$
DG + CG = CD, BF + CF = BC mà CG=BF, CD=BC
-> DG=CF
\triangle DHG và \triangle CGF có :
DH=CG,hat{HDG}=hat{GCF}=90^o, DG=CF
->\triangle DHG = \triangle CGF (cạnh – góc – cạnh)
-> HG=GF và hat{H_1}=hat{G_2}
hat{H_1}+hat{G_1}=90^o
->hat{G_1}+hat{G_2}=90^o
->hat{HGF}=90^o
CMTT : HE=EF, EF=FG,hat{HEF}=90^o,hat{EFG}=90^o,hat{EHG}=90^o
HE=EF, EF=FG, FG=GH -> HE=EF=FG=HG
Tứ giác EFGH có : HE=EF=FG=HG,hat{HEF}=hat{EFG}=hat{FGH}=hat{EHG}=90^o
->EFGH là hình vuông
b,
Gọi O=EF∩ HF mà EFGH là hình vuông
->O là trung điểm của EG, HF (1) và EG\bot HF
Tứ giác AECG có : $AE//CG, AE=CG$
-> AECG là hình bình hành
->EG cắt AC tại trung điểm mỗi đường mà O là trung điểm của EG
->O là trung điểm của AC(2)
ABCD là hình vuông nên AC cắt BD tại trung điểm mỗi đường
Mà O là trung điểm của AC
->O là trung điểm của BD(3)
(1)(2)(3) -> EG, FH, AC,BD đồng quy tại O
c,
OE=1/2 EG , OH=1/2 HF mà EG=HF
-> OE=OH=5cm
\triangle EOH vuông tại O có :
OE^2+OH^2=HE^2 (Pytago)
->HE=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}cm
S_{EFGH}=EH^2 = 50cm^2
d,
Dễ dàng cm được \triangle AHE=\triangle BEF (c.g.c)
-> AH=BE
Đặt AE=m, AH=n
-> m,n >0
Áp dụng BĐT x^2+y^2\ge 1/2 (x+y)^2(x,y >0 ) ta được :
m^2+n^2\ge 1/2 (m+n)^2
-> AE^2 +AH^2 \ge 1/2 (AE+AH)^2 = 1/2 (AE+ BE)^2 = 1/2 AB^2
-> HE^2 \ge 1/2 AB^2
S_{EFGH}=EH^2\ge 1/2 AB^2
Dấu “=” xảy ra khi : AE=AH -> AE=BE ->E là trung điểm của AB
Vậy (min)S_{EFGH}=1/2 AB^2 <=>E là trung điểm của AB