Toán Lớp 8: Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x^3+y^3+x^2+y^2.

Question

Toán Lớp 8:  Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y = 2.  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x^3+y^3+x^2+y^2.

ngocle44 · Answer

Giải đáp:   Q_(min)=4 khi x=y=1   Lời giải và giải thích chi tiết:    Ta c&oacute;: x+y=2 -> y=2-x   Q=x^3 +y^3 +x^2 +y^2   Q=(x^3 +y^3)+(x^2 +y^2 +2xy)-2xy   Q=(x+y)(x^2 -xy+y^2) + (x+y)^2 -2xy   Q=2[(x^2 +2xy+y^2) -3xy] +2^2 -2xy   Q=2[(x+y)^2 -3xy] +4-2xy   Q=2(2^2 -3xy)+4-2xy   Q=2^3 -6xy+4-2xy   Q=8+4-6xy-2xy   Q=12-8xy   Q=12-8x(2-x) (V&igrave; y=2-x)   Q=8x^2 -16x+12   Q=8x^2 - 16x +8+4   Q=8(x^2 -2x+1)+4   Q=8(x-1)^2 +4   Ta thấy 8(x-1)^2&ge;0 với &forall;x&isin;R            -> 8(x-1)^2 +4&ge;4 với &forall;x&isin;R   Dấu = xảy ra khi 8(x-1)^2 =0                              &hArr;(x-1)^2 =0                             &hArr;x-1=0                              &hArr;x=1                              &rArr;1+y=2                             &rArr;y=1                              &rArr;x=y=1   Vậy Q_(min)=4 khi x=y=1