Toán Lớp 8: Cho các số nguyên a, b, c tm: a+b+c chia hết cho 6. CM: a^3 + b^3 + c^3 cũng chia hết cho 6

Question

Toán Lớp 8:  Cho các số nguyên a, b, c tm: a+b+c chia hết cho 6. CM: a^3 + b^3 + c^3 cũng chia hết cho 6

huongtructram · Answer

$ begin{array}{l} {a^3} + {b^3} + {c^3}    = { left( {a + b}  right)^3} - 3ab left( {a + b}  right) + {c^3}    = { left( {a + b + c}  right)^3} - 3 left( {a + b}  right)c left( {a + b + c}  right) - 3ab left( {a + b}  right)  end{array}$   Do $a+b+c  vdots 6$  n&ecirc;n $3(a+b+c)(a+b)c$ chia hết cho $6$   Lại c&oacute; $ab(a+b) vdots 2$ do nếu $a,b c&ugrave;ng chẵn$ th&igrave; t&iacute;ch kia chia hết cho $2$ v&agrave; nếu $a,b$ kh&ocirc;ng c&ugrave;ng t&iacute;nh chẵn lẻ th&igrave; $a$ chẵn hoặc $b$ chẵn n&ecirc;n $ab(a+b)$ chia hết cho 2. V&agrave; nếu $a,b$ c&ugrave;ng lẻ  th&igrave; t $a+b$ chẵn chia hết cho $2$. Vậy $ab(a+b)$ chia hết cho 2 n&ecirc;n $3ab(a+b)$ chia hết cho $BCNN(2,3)=6$ n&ecirc;n $3ab(a+b)$ chia hết cho $6$.   Vậy ${a^3} + {b^3} + {c^3}  vdots 6$