Toán Lớp 8: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn : $xy + yz + xz = 12 $ Tìm GTNN của M = $x^4 + y ^4 + z^4 $

Question

Toán Lớp 8:  Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn : $xy + yz + xz = 12 $ Tìm GTNN của M = $x^4 + y ^4 + z^4 $

lanhuongthu · Answer

&aacute;p dụng bất đẳng thức cosi ta c&oacute;:        x^4+y^4&ge;2x&sup2;y&sup2;                 (1)      y^4+z^4&ge;2y&sup2;z&sup2;                 (2)      z^4+x^4&ge;x&sup2;z&sup2;                    (3)       (1)+(2) + (3)--->2( x^4+y^4+z^4)&ge;2(x&sup2;y&sup2;+y&sup2;z&sup2;+x&sup2;z&sup2;)       --->x^4+y^4+z^4&ge;x&sup2;y&sup2;+y&sup2;z&sup2;+x&sup2;z&sup2;       &aacute;p dụng bất đẳng thứcbunhia-cop-xki ta c&oacute;       x&sup2;y&sup2;+y&sup2;z&sup2;+x&sup2;z&sup2;&ge;   (xy+yz+xz)&sup2; = 12&sup2;    =48       x^4+y^4+z^4&ge;48       Mmin=48<--->X=Y=Z=2                                                  3                3

ngoclankhue · Answer

Ta có :

$(x-y)^2 ≥ 0 $

$=> x^2 + y^2 ≥ 2xy $ (1)

Ta có :
$(y-z)^2 ≥ 0$

$=> y^2 + z^2 ≥ 2yz $ (2)

Ta có :

$(x-z)^2 ≥ 0 $

$=> x^2 + z^2 ≥ 2xz $ (3)

Từ (1), (2) và (3)
$ => x^2 + y^2 + z^2 ≥ 2xy + 2yz + 2xz $

Mà $xy + yz + zx < 2xy + 2yz + 2xz $

$=> x^2 + y^2 + z^2 ≥ xy + yz + zx $

Hay $x^2 + y^2 + z^2 ≥ 12$

$=> (x^2 + y^2 + z^2)^2 ≥ 144 $ (=)

$<=> x^4 + y^4 + z^4 + 2x^2y^2 + 2y^2z^2 + 2x^2z^2 ≥ 144 $
Ta có :
$ x^4 + y^4 + z^4 – 2x^2y^2 – 2y^2z^2 – 2x^2z^2 ≥ 0$
$=> x^4 + y^4 + z^4 ≥ x^2y^2 + 2y^2z^2 + 2x^2z^2$

$=> 2(x^4 + y^4 + z^4) ≥ x^4 + y^4 + z^4 + 2x^2y^2 + 2y^2z^2 + 2x^2z^2$ (==)

Từ (=) và (==)

$=> 3(x^4 + y^4 + z^4)^2 ≥ 144 $

$<=> x^4 + y^4 + z^4 ≥ 48 $
Dấu ” = ” xảy ra khi :

$x=y=z$

$=> xy + yz + xz = 12 $

$<=> x^2 + x^2 + x^2 = 12 $

$<=> 3x^2 = 12 $
$<=> x = 2 $
$=> x = y = z = 2 $
Vậy GTNN của M là 144 khi $x=y=z=2$
#Hoidap247