Toán Lớp 8: cho a,b,c thuộc Z và ab+bc+ca =1 chứng minh (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) là số chính phương

Question

Toán Lớp 8:  cho a,b,c thuộc Z và ab+bc+ca =1 chứng minh (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) là số chính phương

mocmien87 · Answer

Lời giải và giải thích chi tiết:   C&oacute; :      a&sup2; + 1 = a&sup2; +ab+bc+ca=(a&sup2;+ab)+(bc+ca)= (a+b)(a+c)   Tương tự: b&sup2;+1=(b+c)(b+a)   c&sup2;+1=(c+a)(c+b)   &rArr; (a&sup2;+1)(b&sup2;+1)(c&sup2;+1)=[(a+b)(b+c)(c+a)]&sup2; l&agrave; số ch&iacute;nh phương (đpcm)        CH&Uacute;C BN HỌC TỐT!

bichquyenlien · Answer

Giải đáp:   Lời giải và giải thích chi tiết:   Ta c&oacute;: (a&sup2; + 1)(b&sup2; + 2)(c&sup2; + 1)   = (a&sup2;b&sup2; + a&sup2; + b&sup2; + 1)(c&sup2; + 1)   = a&sup2;b&sup2;c&sup2; + a&sup2;b&sup2; + a&sup2;c&sup2; + a&sup2; + b&sup2;c&sup2; + b&sup2; + c&sup2; + 1   = a&sup2;b&sup2;c&sup2; + a&sup2;b&sup2; + b&sup2;c&sup2; + c&sup2;a&sup2; + a&sup2;+ b&sup2; + c&sup2; + 1       $_{(1)}$   Lại c&oacute;: ab + bc + ca = 1   &rArr; (ab + bc + ca)&sup2; = 1   &rArr; a&sup2;b&sup2; + b&sup2;c&sup2; + c&sup2;a&sup2; + 2ab.bc + 2bc.ca + 2ca.ab = 1   &rArr; a&sup2;b&sup2; + b&sup2;c&sup2; + c&sup2;a&sup2; + 2abc(a + b + c) = 1   &rArr; a&sup2;b&sup2; + b&sup2;c&sup2; + c&sup2;a&sup2; = 1 - 2abc(a+ b + c)   Thay v&agrave;o $_{(1)}$ ,  ta c&oacute;:   (a&sup2; + 1)(b&sup2; + a)(c&sup2; + 1) = a&sup2;b&sup2;c&sup2; + 1 - 2abc(a + b + c) + a&sup2; + b&sup2; + c&sup2; + 1   = a&sup2;b&sup2;c&sup2; - 2abc(a + b + c) + a&sup2; + b&sup2; + c&sup2; + 2   = a&sup2;b&sup2;c&sup2; - 2abc(a + b + c) + a&sup2; + b&sup2; + c&sup2; + 2(ab + bc + ca) (do ab+ bc +ca = 1)   = a&sup2;b&sup2;c&sup2; - 2abc(a + b + c) + a&sup2; + b&sup2; + c&sup2; + 2ab + 2bc + 2ca   = a&sup2;b&sup2;c&sup2; - 2abc(a + b + c) + (a + b + c)&sup2;   = (abc - a - b - c)&sup2; (đpcm)