Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 8: Cho a,b,c ∈ [ 1;2] chưng minh rằng: $a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca + 3(a+b)(b+c)(c+a) ≥ (a+b+c)^3$

Tháng Hai 17, 2023 Toán học 1 Comment 0 views

Toán Lớp 8: Cho a,b,c ∈ [ 1;2] chưng minh rằng:
$a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca + 3(a+b)(b+c)(c+a) ≥ (a+b+c)^3$

Comments ( 1 )

  1. hoaiphuong85
    hoaiphuong85
    17 Tháng Hai, 2023 at 2:21 chiều
    Reply
    Giải đáp + giải thích các bước giải:
    a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b)(b+c)(c+a)\ge(a+b+c)^3
    ->a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b)(b+c)(c+a)\gea^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)
    ->a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\gea^3+b^3+c^3
    Vì a,b,c∈[1;2]
    ->$\left\{\begin{matrix} (a-2)(b-2)\le0\to ab\le2(a+b)-4\\(b-2)(c-2)\le0\to bc\le2(b+c)-4\\(c-2)(a-2)\le0\to ac\le 2(a+c)-4\end{matrix}\right.$ 
    ->ab+bc+ca >=4(a+b+c)-12
    ->a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca>=a^2+b^2+c^2+4(a+b+c)-12
    Vì a,b,c∈[1;2]
    ->$\left\{\begin{matrix} a(a-1)(a-2)\le0\to a^3\le3a^2+2a\\b(b-1)(b-2)\le0\to b^3\le3b^2+2b\\c(c-1)(c-2)\le0\to c^3\le3c^2+2c\end{matrix}\right.$
    ->a^3+b^3+c^3<=3(a^2+b^2+c^2)-2(a+b+c)
    Ta cần chứng minh:
    a^2+b^2+c^2+4(a+b+c)-12 >=3(a^2+b^2+c^2)-2(a+b+c)
    ->2(a^2+b^2+c^2-6(a+b+c)+12<=0
    ->a^2-3a+2+b^2-3b+2+c^2-3c+2<=0
    ->(a-1)(a-2)+(b-1)(b-2)+(c-1)(c-2)<=0 (luôn đúng với x∈[1;2])

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Diệu Hằng

About Diệu Hằng