Toán Lớp 8: cho a, b, c > 0, thỏa mãn a+b+c=2022. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = (2a+3b+3c+1)/(2021+a) + (3a+3c+2b)/(2022+b) + (3a+3b+2c-1)/(2023+c)
Leave a reply
Register Now
Login
Lost Password
Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.
Toán Lớp 8: cho a, b, c > 0, thỏa mãn a+b+c=2022. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = (2a+3b+3c+1)/(2021+a) + (3a+3c+2b)/(2022+b) + (3a+3b+2c-1)/(2023+c)
Comments ( 2 )
a+b+c=2022
->2a+2b+2c=2.2022=4044
->2a+3b+3c=4044+b+c
->2a+3b+3c+1=4045+b+c
->2a+3b+3c+1=(2022+b)+(2023+c)
a+b+c=2022
-> 2a+2b+2c=4044
->3a+2b+3c=4044+a+c=(2021+a)+(2023+c)
a+b+c=2022
->2a+2b+2c=4044
->3a+3b+2c-1=4044 +a+b-1=4043 +a+b=(2021+a)+(2022+b)
Khi đó :
P=((2022+b)+(2023+c))/(2021+a) + ((2021+a)+(2023+c))/(2022+b) + ((2021+a)+(2022+b))/(2023+c)
Đặt 2021+a=x, 2022+b=y, 2023+c=z ->x,y,z>0 do a,b,c>0
->P=(y+z)/x +(x+z)/y + (x+y)/z
= y/x + x/y + z/x + x/z + y/z + z/y
Áp dụng BĐT Cô-si ta có :
y/x+x/y\ge 2\sqrt{y/x . x/y}=2
Tương tự :
z/x+x/z\ge 2
y/z+z/y\ge 2
->P\ge 2+2+2=6
Dấu “=” xảy ra khi :
x=y=z
<=> 2021+a=2022+b=2023+c
<=> a=675,b=674, z=673
Vậy min P=6<=>a=675, b=674, c=673
P = (2a + 3b + 3c + 1)/(2021 + a) + (3a + 3c + 2b)/(2022 + b) + (3a + 3b + 2c – 1)/(2023 +c)
Ta có :
a + b + c = 2022
=> 2a + 2b + 2c = 4044
=> 2a + 3b + 3c + 1 = 4044 +b + c +1
=> 2a + 3b + 3c + 1 = 4045 + b + c
=> 2a + 3b + 3c + 1 = (2022+ b)+ (2023 + c) (1)
—
2a + 2b + 2c = 4044
=> 2b + 3a + 3c = 4044 + a + c
=> 2b + 3a + 3c = (2021 + a) + (2023 + c) (2)
—
2a + 2b +2c = 4044
=> 2c + 3a + 3b – 1 = 4044 + a + b – 1
=> 2c + 3a + 3b – 1 = 4043 + a + b
=>2c + 3a + 3b – 1 = (2021 +a) + (2022+b) (3)
Thay (1) ; (2) ; (3) vào P ta được :
P = ((2022+ b)+ (2023 + c))/(2021 + a) + ( (2021 + a) + (2023 + c))/(2022 + b) + ( (2021 +a) + (2022+b) )/(2023 + c)
= (2022+b)/(2021+a) + (2023+c)/(2021+a) + (2021+a)/(2022+b) + (2023+c)/(2022+b) +(2021+a)/(2023+c) + (2022+b)/(2023+c)
= ( (2022 + b)/(2021 +a) + (2021+a)/(2022+b)) + ( (2023 +c)/(2021+a) + (2021+a)/(2023+c)) + ((2023+c)/(2022+b)+ (2022+b)/(2023+c))
Vì a ; b ; c > 0 nên 2022+b > 0 và 2021 + a > 0. Do đó, áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được :
= (2022+b)/(2021+a) + (2021+a)/(2022+b) \ge 2 . \sqrt{ (2022+b)/(2021+a). (2021+a)/(2022+b)}
=> (2022+b)/(2021+a) + (2021+a)/(2022+b) \ge 2
Tương tự ta có :
(2023 +c)/(2021+a) + (2021+a)/(2023+c) \ge 2
(2023+c)/(2022+b)+ (2022+b)/(2023+c) \ge 2
=> P \ge 6
Dấu = xảy ra <=> { ( (2022 + b)/(2021 +a)= (2021+a)/(2022+b) ),( (2023 +c)/(2021+a) = (2021+a)/(2023+c)),((2023+c)/(2022+b)= (2022+b)/(2023+c)):}
<=> {(a= 675 ),(b =674 ),(c = 673):}
Vậy \text{Min}_P = 6 <=> (a;b;c) = (675 ; 674; 673)