Toán Lớp 8: Bài 2. Cho a ABC vuông tại A, BC có độ dài không đổi, trung tuyến AM. GọiD
là trung điểm AB; E là điểm đối xứng với M qua D.
al Chứng minh tứ giác AEMC là hình bình hành.
b/ Chứng minh tứ giác AMBE là hình thoi.
c Gọi H là trung điểm của AC; I là giao điểm của AM và DH. Chứng minh ba
điểm C; I; E thẳng hàng.
d/ Tam giác vuông ABC cần có điều kiện gì để tứ giác AMBE có diện tích lớn
nhất.
mọi người giúp em vs ạ em đang rất cần gấp pls
Leave a reply
Comments ( 2 )
Lời giải và giải thích chi tiết:
a) Ta có:
$MD$ là đường trung bình của $\Delta ABC$
$\to MD//AC;MD=\dfrac{1}{2}AC$
$\to ME//AC;ME=AC$ (Do $ME=2MD$)
$\to AEMC$ là hình bình hành.
b) Ta có:
$D$ là trung điểm của $AB,ME$
$\to $ Tứ giác $AEBM$ là hình bình hành
Mà lại có: $MD//AC$ (câu a) $\to MD\bot AB=D$
$\to $ Tứ giác $AEBM$ là hình thoi.
c) Ta có:
$MH$ là đường trung bình của $\Delta ABC$
$\to MH//AB\to MH\bot AC$
Như vậy:
$\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ADM} = {90^0}\left( {do:MD \bot AB} \right)\\
\widehat {DAH} = {90^0}\\
\widehat {AHM} = {90^0}\left( {do:MH \bot AC} \right)
\end{array} \right.$
$\to ADMH$ là hình chữ nhật
$\to AM,DH$ giao nhau tại trung điểm mỗi đường.
$\to I$ là trung điểm của $AM$
Mà lại có:
$AEMC$ là hình bình hành (câu a)
$\to AM, CE$ giao nhau tại trung điểm mỗi đường.
$\to CE$ đi qua $I$
$\to C,I,E$ thẳng hàng.
d) Ta có:
${S_{AMBE}} = \dfrac{1}{2}ME.AB = \dfrac{1}{2}AC.AB$
$\left( {do: \text{AEMC là hình bình hành $\to$ ME = AC}}\right)$
Lại có:
${\left( {x – y} \right)^2} \ge 0,\forall x,y \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy,\forall x,y$ hay $xy \le \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2},\forall x,y$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow x = y$
Như vậy:
$\dfrac{1}{2}AC.AB \le \dfrac{1}{2}.\dfrac{{A{C^2} + A{B^2}}}{2} = \dfrac{{B{C^2}}}{4} \Rightarrow {S_{AMBE}} \le \dfrac{{B{C^2}}}{4}$
$ \Rightarrow Max{S_{AMBE}} = \dfrac{{B{C^2}}}{4}$
Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow AB = AC$ $ \Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông cân ở $A$
Vậy $\Delta ABC$ vuông cân ở $A$ thì diện tích tứ giác $AMBE$ lớn nhất.
a,
E đối xứng M qua D->D là trung điểm của EM
->DM=1/2 EM
\triangle ABC có : D,M là trung điểm của AB,BC
->DM là đường trung bình
->DM=1/2 AC và $DM//AC$
Tứ giác AEMC có :
$ME//AC,ME=AC$
->AEMC là hình bình hành
b,
$DM//AC, AC\bot AB\to DM\bot AB$ hay $ME\bot AB$
Tứ giác AMBE có : D là trung điểm của AB,ME
-> AMBE là hình bình hành mà ME\bot AB
-> AMBE là hình thoi
c,
DM=1/2 AC, AH=1/2 AC ->DM=AH
Tứ giác ADMH có : $DM//AH, DM=AH$
->ADMH là hình bình hành, I=AM∩DH
->I là trung điểm của AM,DH
AEMC là hình bình hành
->AM cắt CE tại trung điểm mỗi đường
Mà I là trung điểm của AM
->I là trung điểm của CE
-> C,I,E thẳng hàng
d,
AEMC là hình bình hành ->ME=AC
S_{AEMC}=1/2 AB .EM=1/2 AB . AC
Đặt AB=x,AC=y
->x,y>0
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x,y ta được :
x+y\ge 2\sqrt{xy}
->x^2+2xy+y^2\ge 4xy
-> x^2+y^2\ge 2xy
->xy\le (x^2+y^2)/2
-> 1/2 xy\le (x^2+y^2)/4
-> S_{AMBE}\le (AB^2+AC^2)/4=(BC^2)/4
Dấu “=” xảy ra khi : AB=AC
<=>\triangle ABC vuông cân tại A
Vậy S_{AMBE} có diện tích lớn nhất là (BC^2)/4<=> \triangle ABC vuông cân tại A