Toán Lớp 7: Bài 10 : Cho tam giác ABC có D là trung điểm của AB. Vẽ đường thẳng qua D song song với BC cắt AC ở E. Vẽ đường thẳng qua E song song

Question

Toán Lớp 7:  Bài 10 : Cho tam giác ABC có D là trung điểm của AB. Vẽ đường thẳng qua D song song  với BC cắt AC ở E. Vẽ đường thẳng qua E song song với AB cắt BC ở F. Chứng minh  rằng : a) AD = EF   b) tam giacADE = tam giac EFC  c) F là trung điểm của BC  d) Nếu AB = 4,5 cm, AE = 2,7 cm, BE = 3,6 cm thì BE là trung trực của AC

dongoclandiem · Answer

$  $   a,   X&eacute;t &Delta;DEF v&agrave; &Delta;FBD c&oacute; :   DF chung   hat{EFD}=hat{BDF} (Do $EF//AB$)   hat{EDF}=hat{BFD} (Do $DE//BC$)   -> &Delta;DEF= &Delta;FBD (g&oacute;c - cạnh - g&oacute;c)   -> BD = EF (2 cạnh tương ứng)   m&agrave; AD = BD (Do D l&agrave; trung điểm của AB)   -> AD = EF (=BD)   $  $   b,   Do $DE//BC$ (gt)   -> hat{ADE}=hat{ABC} (2 g&oacute;c đồng vị)   Do $EF//AB$ (gt)   -> hat{ABC}=hat{EFC} (2 g&oacute;c đồng vị)   m&agrave; hat{ADE}=hat{ABC} (cmt)   -> hat{ADE}=hat{EFC} (=hat{ABC})   X&eacute;t &Delta;ADE v&agrave; &Delta;EFC c&oacute; :   hat{ADE}=hat{EFC} (cmt)   AD = EF (cmt)   hat{DAE}=hat{FEC} (Do $EF//AB$)   -> &Delta;ADE=  &Delta;EFC (g&oacute;c - cạnh - g&oacute;c)   $  $   c,   Do &Delta;ADE  = &Delta;EFC (cmt)   -> DE = FC (2 cạnh tương ứng)   Do &Delta;DEF= &Delta;FBD (cmt)   -> BF = DE (2 cạnh tương ứng)   n&agrave; DE=FC (cmt)   -> BF = FC (=DE)   -> F l&agrave; trung điểm của BC   $  $   d,   X&eacute;t &Delta;AEB c&oacute; :   $ begin{cases} AE^2 + BE^2 = 2,7^2 + 3,6^2 = 20,25cm  AB^2 = 4,5^2 = 20,25cm end{cases}$   -> AE^2 + BE^2 =AB^2 (=20,25cm)   -> &Delta;AEB vu&ocirc;ng tại E (Pitago đảo)   -> AE &perp;BE (1)   Do &Delta;ADE = &Delta;EFC (cmt)   -> AE = EC (2 cạnh tương ứng)   -> E l&agrave; trung điểm của AC (2)   Từ (1), (2)   -> BE l&agrave; đường trung trực của AC

mocmien87 · Answer

a) V&igrave; AB // EF (gt)   &rArr; &ang;BDF = &ang;DFE (2 g&oacute;c so le trong)   V&igrave; DE // BC (gt)   &rArr; &ang;EDF = &ang;DFB (2 g&oacute;c so le trong)   X&eacute;t &Delta;BDF v&agrave; &Delta;EFD c&oacute;:   DF cạnh chung   &ang;BDF = &ang;DFE (chứng minh tr&ecirc;n)   &ang;EDF = &ang;DFB (chứng minh tr&ecirc;n)   &rArr; &Delta;BDF = &Delta;EFD (g.c.g)   &rArr; BD = EF (2 cạnh tương ứng)   M&agrave; BD = AD (gt)   &rArr; AD = EF.   b) V&igrave; AB // EF (gt)   &rArr; &ang;A = &ang;FEC (2 g&oacute;c đồng vị)   v&agrave; &ang;ADE = &ang;EFC (2 g&oacute;c đồng vị)   X&eacute;t &Delta;ADE v&agrave; &Delta;EFC c&oacute;:   AD = EF (theo c&acirc;u b)   &ang;A = &ang;FEC (chứng minh tr&ecirc;n)   &ang;ADE = &ang;EFC (chứng minh tr&ecirc;n)   &rArr; &Delta;ADE = &Delta;EFC (g.c.g)   c) V&igrave; &Delta;ADE = &Delta;EFC (chứng minh tr&ecirc;n)   &rArr; DE = FC (2 cạnh tương ứng)   V&igrave; DE // BC (gt)   &rArr; &ang;ADE = &ang;DBF (2 g&oacute;c đồng vị)   V&agrave; &ang;BDF = &ang;A (2 g&oacute;c đồng vị)   X&eacute;t &Delta;BDF v&agrave; &Delta;DAE c&oacute;:   BD = AD (gt)   &ang;A = &ang;BDF (chứng minh tr&ecirc;n)   &ang;ADE = &ang;BDF (chứng minh tr&ecirc;n)   &rArr; &Delta;BDF = &Delta;DAE (g.c.g)   &rArr; BF = DE (2 cạnh tương ứng)     M&agrave; DE = FC (chứng minh tr&ecirc;n)   &rArr; BF = FC.   &rArr; F l&agrave; trung điểm của BC.   d) V&igrave; &Delta;ADE = &Delta;EFC (chứng minh tr&ecirc;n)    (1)   &rArr; AE = EC. N&ecirc;n E l&agrave; trung điểm của AC (*)   M&agrave; &Delta;ADE = &Delta;DBF (chứng minh tr&ecirc;n)      (2)   Từ (1) v&agrave; (2) suy ra &Delta;EFC = &Delta;BFD.   &rArr; EC = BD (.........) (**)   M&agrave; D l&agrave; trung điểm của AB.    (***) Từ (*), (**), (***) suy ra:   AD + DB = AE + EC   &rArr; AB = AC.   &rArr; &Delta;ABC c&acirc;n tại A.   X&eacute;t &Delta;BEA v&agrave; &Delta;BEC c&oacute;:   BE cạnh chung   AB = AC (chứng minh tr&ecirc;n)   AE = EC (chứng minh tr&ecirc;n)   &rArr; &Delta;BEA = &Delta;BEC (c.c.c)   &rArr; &ang;AEB = &ang;CEB (2 g&oacute;c tương ứng)   M&agrave; tổng của ch&uacute;ng = 180 (kề b&ugrave;)   &rArr; &ang;AEB = &ang;CEB = 90.   &rArr; BE &perp; AC.  (3)   V&igrave; DE = BF (chứng minh tr&ecirc;n)   DE = BD = AD (chứng minh tr&ecirc;n)   &rArr; BF = FC = AD = DB   &rArr; AD + DB = BF + FC   &rArr; AB = BC.  (4)   Từ (3) v&agrave; (4) suy ra BE l&agrave; trung trực của AC.