Toán Lớp 6: Tìm số nguyên tố x; y; z biết: x mũ y + 1 = z

Question

Toán Lớp 6:  Tìm số nguyên tố x; y; z biết:            x mũ y + 1 = z

lanhuongthu · Answer

Giải đáp:   Vậy $x=2;y=2;z=5$ thỏa m&atilde;n    Lời giải và giải thích chi tiết:   Ta c&oacute;: $x^y+1=z text{ (x,y,z l&agrave; c&aacute;c số nguy&ecirc;n tố)}$   Với $z=2$ th&igrave; $x^y+1=2$   $=>x^y=1$   M&agrave; x v&agrave; y l&agrave; c&aacute;c số nguy&ecirc;n tố (số nguy&ecirc;n tố th&igrave; phải lớn hơn hoặc bằng 2)   N&ecirc;n kh&ocirc;ng c&oacute; kết quả thỏa m&atilde;n   Do đ&oacute; $z geq3$    N&ecirc;n z l&agrave; số lẻ (v&igrave; z nguy&ecirc;n tố)   $=>x^y+1 text{ cũng l&agrave; số lẻ}$   $=>x^y text{ cũng l&agrave; số chẵn}$   $=>x  text{ l&agrave; số chẵn}$   $=>x=2$ (V&igrave; chỉ c&oacute; 2 l&agrave; số chẵn nguy&ecirc;n tố duy nhất)   $=>2^y+1=z$   Với $y=2$ th&igrave; $z=5$   $=> text{Thỏa m&atilde;n điều kiện}$   Vậy $x=2;y=2;z=5$ thỏa m&atilde;n   Với $y>2$:   $=>y text{ l&agrave; số lẻ}$ (v&igrave; số nguy&ecirc;n tố lớn hơn 2 l&agrave; số lẻ)   Đặt $y=2k+1$   C&oacute;: $x^{2k+1}+1=z$   $=>x^{2k+1}+1^{2k+1}=z$ (Phần sau l&agrave; một hằng đẳng thức, bạn c&oacute; thể tham khảo hằng đẳng thức n&agrave;y tr&ecirc;n mạng)   $=>(x^{2k+1}+x^{2k})-(x^{2k}+x^{2k-1})+x{2k-1}-...+1^{2k+1}=z$   $=>(x+1)x^{2k}-(x+1)(x^{2k-1}+(x+1)(x^{2k-2}-...+(x+1)=z$   $=>(x+1)(x^{2k}-(x^{2k-1}+(x^{2k-2}-...+1)=z$   $=>(2+1)(x^{2k}-(x^{2k-1}+(x^{2k-2}-...+1)=z$   $=>3(x^{2k}-(x^{2k-1}+(x^{2k-2}-...+1)=z$   V&igrave; $y>2$ n&ecirc;n $x^y+1=z>3$ (với mọi x,y,z l&agrave; số nguy&ecirc;n tố)   N&ecirc;n $z vdots 3$   $=> text{Kh&ocirc;ng thỏa m&atilde;n đề b&agrave;i}$   Vậy $x=2;y=2;z=5$ thỏa m&atilde;n    B&igrave;nh luận:  Với những b&agrave;i như thế n&agrave;y, t&igrave;m x, y, z sao cho x, y, z l&agrave; số nguy&ecirc;n tố...th&igrave; x&eacute;t trường hợp nhỏ đến lớn ch&uacute;t x&iacute;u v&agrave; r&uacute;t ra kết luận của những th&iacute; nghiệm đ&oacute;.