Toán Lớp 12: So sánh $999!$ và $500^{999}$.

Question

Toán Lớp 12:  So sánh $999!$ và $500^{999}$.

thanoanghha · Answer

Giải đáp:

$500^{999} > 999!$

Lời giải và giải thích chi tiết:

Ta có bất đẳng thức:

$\left(\dfrac{n+1}{2}\right)^n > n!,\quad \forall n\geqslant 2$

Chứng minh bằng quy nạp:

$\bullet\quad n =2$ ta được:

$\left(\dfrac32\right)^2 = \dfrac94 > 2! = 2$

$\bullet$ Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k\geqslant 2$, tức là:

$\left(\dfrac{k+1}{2}\right)^k > k!$

$\bullet$ Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với $n = k+1$, hay:

$\left(\dfrac{k+2}{2}\right)^{k+1} > (k+1)!$

Thật vậy, ta có:

$\begin{array}{l}
\left(\dfrac{k+2}{2}\right)^{k+1} = \left(\dfrac{k+1 + 1}{2}\right)^{k+1}\\
\kern57pt = \dfrac{(k+1)^{k+1} + C_{k+1}^1(k+1)^k + C_{k+1}^2(k+1)^{k-1}+\cdots}{2^{k+1}}\\
\kern57pt = \dfrac{(k+1)^{k+1} +(k+1).(k+1)^k + \cdots}{2.2^k}\\
\kern57pt > \dfrac{(k+1)^{k+1} + (k+1)^{k+1}}{2.2^k}\\
\kern57pt > \dfrac{(k+1)^{k+1}}{2^k} = \dfrac{(k+1).(k+1)^k}{2^k}\\
\kern57pt > (k+1).k! = (k+1)!
\end{array}$

Vậy bất đẳng thức đã cho luôn đúng với mọi giá trị $n \geqslant 2$

Áp dụng:

Với $n = 999$ ta được:

$\quad \left(\dfrac{999+1}{2}\right)^{999} > 999!$

$\Leftrightarrow 500^{999} > 999!$