Toán Lớp 12: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.Gọi M là trung điểm BC.α là góc giữa DM và AC.Khi đó cosα bằng?

Question

Toán Lớp 12:  Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.Gọi M là trung điểm BC.α là góc giữa DM và AC.Khi đó cosα bằng?

hoquyly · Answer

Giải đáp:    $ dfrac{ sqrt{3}}{6}a$   Lời giải và giải thích chi tiết:    Từ $M$ kẻ $MA' // AC$   $ to (DM , AC ) = ( A'M , MD)$   $ to  cos  alpha =  dfrac{A'M^2 + MD^2- A'D^2}{2.A'M.MD} =  dfrac{  Big( dfrac{a}{2} Big)^2 +  Big( dfrac{a  sqrt{3}}{2}  Big)^2 -  Big( dfrac{a  sqrt{3}}{2}  Big)^2 }{2. Big( dfrac{a}{2} Big). Big( dfrac{a  sqrt{3}}{2}  Big)} =  dfrac{ sqrt{3}}{6}$

diepbich93 · Answer

Giải đáp:   $ cos alpha =  dfrac{ sqrt3}{6}$   Lời giải và giải thích chi tiết:   Gọi $N$ l&agrave; trung điểm $AB$   $ Rightarrow MN$ l&agrave; đường trung b&igrave;nh của $ triangle ABC$   $ Rightarrow  begin{cases}MN//AC  MN =  dfrac12AC =  dfrac{a}{2} end{cases}$   $ Rightarrow  widehat{(DM;AC)} =  widehat{(DM;MN)} =  widehat{DMN} =  alpha$   Ta c&oacute;:   $ triangle BCD$ đều cạnh $a,  M$ l&agrave; trung điểm $BC Rightarrow DM =  dfrac{a sqrt3}{2}$   $ triangle ABD$ đều cạnh $a,  N$ l&agrave; trung điểm $AB Rightarrow DN =  dfrac{a sqrt3}{2}$   &Aacute;p dụng định l&yacute; $ cos$ v&agrave;o $ triangle DMN$ ta được:   $ quad DN^2 = MN^2 + DM^2 - 2MN.DM. cos widehat{DMN}$   $ Leftrightarrow  cos widehat{DMN} =  dfrac{MN^2 + DM^2 - DN^2}{2MN.DM}$   $ Leftrightarrow  cos alpha =  dfrac{ dfrac{a^2}{4} +  dfrac{3a^2}{4} -  dfrac{3a^2}{4}}{2 cdot  dfrac{a}{2} cdot  dfrac{a sqrt3}{2}}$   $ Leftrightarrow  cos alpha =  dfrac{ sqrt3}{6}$   Vậy $ cos alpha =  dfrac{ sqrt3}{6}$