Toán Lớp 11: Đề bài : Trong một lớp có `(2n+3)` học sinh gồm An, Bình, Chi cùng `2n` học sinh khác. Khi xếp tùy ý các học sinh này vào một dãy ghế đ

Question

Toán Lớp 11:  Đề bài : Trong một lớp có (2n+3) học sinh gồm An, Bình, Chi cùng 2n học sinh khác. Khi xếp tùy ý các học sinh này vào một dãy ghế được đánh số từ 1 đến (2n+3), mỗi học sinh ngồi một ghế thì xác suất để số ghế của An, Bình, Chi theo thứ tự lập thành một cấp số cộng là 17/1155. Số học sinh của lớp là :  A. 27 B. 25 C. 45 D. 35

thanhbinh2k5 · Answer

Số c&aacute;ch xếp c&aacute;c học sinh v&agrave;o ghế l&agrave; $(2n+3)!$ c&aacute;ch    Nhận x&eacute;t: Nếu số tự nhi&ecirc;n a, b, c lập th&agrave;nh một cấp số cộng th&igrave; $a+c=2b$ n&ecirc;n $a+c$ l&agrave; một số chẵn. Như vậy $a, c$ phải c&ugrave;ng chẵn hoặc c&ugrave;ng lẻ.     Từ $2n+3$ c&oacute; $n+1$ số chẵn v&agrave; $n+2$ số lẻ.     Muốn c&oacute; một c&aacute;ch xếp học sinh thỏa số ghế của An, B&igrave;nh, Chi theo thứ tự lập th&agrave;nh một cấp số cộng ta sẽ tiến h&agrave;nh như sau:     Chọn ghế c&oacute; thứ tự c&ugrave;ng chẵn c&ugrave;ng lẻ rồi xếp An, Chi, v&agrave;o, sau đ&oacute; xếp B&igrave;nh v&agrave;o ghế ch&iacute;nh giữa hai bạn đ&oacute;. Bước n&agrave;y c&oacute;  $A_{n + 1}^2 + A_{n + 2}^2$ c&aacute;ch.(ở th xếp v&agrave;o ghế chẵn v&agrave; ghế lẻ)     Bước thứ 2: Xếp $2n$ học sinh c&ograve;n lại c&oacute; $(2n)!$ c&aacute;ch xếp     Như vậy theo quy tắc nh&acirc;n ta c&oacute; số c&aacute;ch xếp l&agrave;: $A_{n + 1}^2 + A_{n + 2}^2(2n)!$ c&aacute;ch xếp.     Ta c&oacute; phương tr&igrave;nh:    $ begin{array}{l}  dfrac{{ left( {A_{n + 1}^2 + A_{n + 2}^2}  right) left( {2n}  right)!}}{{ left( {2n + 3}  right)!}} =  dfrac{{17}}{{1155}}     Leftrightarrow  dfrac{{n left( {n + 1}  right) +  left( {n + 1}  right) left( {n + 2}  right)}}{{ left( {2n + 1}  right) left( {2n + 2}  right) left( {2n + 3}  right)}} =  dfrac{{17}}{{1155}}     Leftrightarrow 68{n^2} - 1019n - 1104 = 0     Leftrightarrow  left[  begin{array}{l} n = 16   n =  -  dfrac{{69}}{{68}}(L)  end{array}  right.     Rightarrow 2n + 3 = 2.16 + 3 = 35  end{array}$   Vậy số học sinh l&agrave; $35$ học sinh.