Toán Lớp 10: Tính tổng các nghiệm trong đoạn (0;30) của phương trình tan x= tan 3x

Question

Toán Lớp 10:  Tính tổng các nghiệm trong đoạn (0;30) của phương trình tan x= tan 3x

khanhlanchau · Answer

~rai~        ( tan x= tan3x quad(1)  ĐKXĐ: begin{cases} cos x ne 0   cos3x ne 0 end{cases}   Leftrightarrow  begin{cases}x ne dfrac{ pi}{2}+k pi  3x ne  dfrac{ pi}{2}+k pi end{cases}   Leftrightarrow  begin{cases}x ne dfrac{ pi}{2}+k pi  x ne dfrac{ pi}{6}+k dfrac{ pi}{3} end{cases}   Leftrightarrow x ne dfrac{ pi}{6}+k dfrac{ pi}{3}.(k in mathbb{Z})  (1) Leftrightarrow 3x=x+k pi   Leftrightarrow 2x=k pi   Leftrightarrow x=k dfrac{ pi}{2}.(k in mathbb{Z})   text{Kết hợp nghiệm v&agrave; ĐKXĐ tr&ecirc;n đường tr&ograve;n lượng gi&aacute;c được:}  x=k pi.(k in mathbb{Z})   text{Do }x in(0;30)   Leftrightarrow 0<x<30   Leftrightarrow 0<k pi<30   Leftrightarrow 0<k< dfrac{30}{ pi}   text{m&agrave; }k in mathbb{Z} Rightarrow k in {1;2;3; cdots;9 }   Rightarrow x in { pi;2 pi;3 pi; cdots;9 pi }.   text{Tổng c&aacute;c nghiệm:}S= pi+2 pi+3 pi+ cdots+9 pi=45 pi. )

catlantuong · Answer

Điều kiện x&aacute;c định:   $ left {  begin{array}{l}  cos x  ne 0    cos 3x  ne 0  end{array}  right.  Leftrightarrow  left {  begin{array}{l} x  ne  dfrac{ pi }{2} + k pi    3x  ne  dfrac{ pi }{2} + k pi   end{array}  right.  Rightarrow  left {  begin{array}{l} x  ne  dfrac{ pi }{2} + k pi    x  ne  dfrac{ pi }{6} +  dfrac{{k pi }}{3}  end{array}  right. left( {k  in Z}  right)(1)$   $ begin{array}{l}  tan x =  tan 3x     Leftrightarrow 3x = x + k pi      Leftrightarrow x =  dfrac{{k pi }}{2}    left( 1  right)  Rightarrow x = k pi    0 < x < 30  Rightarrow 0 < k pi  < 30  Rightarrow 0 < k <  dfrac{{30}}{ pi }     Rightarrow k  in  left[ {1;9}  right]     Rightarrow S =  pi  + 2 pi  + 3 pi  + ... + 9 pi  =  pi  left( {1 + 2 + 3 + ... + 9}  right)    =  pi . dfrac{{9.10}}{2} = 45 pi   end{array}$