Toán Lớp 9: Cho điểm `M` bất kì nằm trong tam giác đều `ABC`. Vẽ `MD ⊥ AB, ME ⊥ BC, MF ⊥ AC`. Tìm vị trí điểm `M` sao cho `AD^2 + BE^2 + CF^2` đạt

Question

Toán Lớp 9:  Cho điểm M bất kì nằm trong tam giác đều ABC. Vẽ MD ⊥ AB, ME ⊥ BC, MF ⊥ AC.  Tìm vị trí điểm M sao cho AD^2 + BE^2 + CF^2 đạt giá trị nhỏ nhất?

thanhbinh2k5 · Answer

Giải đáp: Lời giải và giải thích chi tiết: Đặt $ : AB = BC = CA = a$ $ Q = AD^{2} + BE^{2} + CF^{2}$ $ = (AM^{2} - MD^{2}) + (BM^{2} - ME^{2}) + (CM^{2} - MF^{2})$ $ = (AM^{2} - MF^{2}) + (BM^{2} - MD^{2}) + (CM^{2} - ME^{2})$ $ = AF^{2} + BD^{2} + CE^{2}$ Áp dụng BĐT $ x^{2} + y^{2} >= dfrac{1}{2}(x + y)^{2}$ có: $ 2Q = (AD^{2} + BD^{2}) + (BE^{2} + CE^{2}) + (CF^{2} + AF^{2})$ $ >= dfrac{1}{2}(AD + BD)^{2} + dfrac{1}{2}(BE + CE)^{2} + dfrac{1}{2}(CF + AF)^{2}$ $ = dfrac{1}{2}(AB^{2} + BC^{2} + CA^{2}) = dfrac{3a^{2}}{2}$ $ => Q >= dfrac{3a^{2}}{4}$ Vậy $ GTNN$ của $ Q = dfrac{3a^{2}}{4} $ $ <=> AD = BD; BE = CE; CF = AF $ $ <=> M$ là trọng tâm tam giác $ABC$