Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 9: Tìm gtln của biểu thức `A = \sqrt{8x^2 + 14xy+3y^2} + \sqrt{8y^2 + 14yz+3z^2} + \sqrt{8z^2 + 14xz+3x^2}` biết `x^2 + y^2 + z^2 = 3` và

Tháng Mười Hai 15, 2022 Toán học 1 Comment 0 views

Toán Lớp 9: Tìm gtln của biểu thức A = \sqrt{8x^2 + 14xy+3y^2} + \sqrt{8y^2 + 14yz+3z^2} + \sqrt{8z^2 + 14xz+3x^2} biết x^2 + y^2 + z^2 = 3 và x; y; z dương

Comments ( 1 )

  1. maianh67
    maianh67
    15 Tháng Mười Hai, 2022 at 5:46 sáng
    Reply
    Giải đáp:
    \text{Max}_A = 15 <=>x = y = z = 1
    Lời giải và giải thích chi tiết:
     Ta thấy :
    \sqrt{8x^2 + 14xy + 3y^2} = \sqrt{ (3x+2y)^2 – (x-y)^2} \le \sqrt{(3x-2y)^2}
    (do (x-y)^2 \ge 0 \forall x ; y)
    => \sqrt{8x^2 + 14xy + 3y^2} \le |3x+2y| = 3x +2y (do x ;y là các số thực dương) (1)
    Chứng minh tương tự ta có :
    \sqrt{8y^2 + 14yz + 3z^2} \le 3y + 2z (2)
    \sqrt{8z^2 + 14xz + 3x^2} \le 3z+2x (3)
    Cộng các vế tương ứng của (1) ; (2) ; (3) ta có :
    \sqrt{8x^2 + 14xy + 3y^2} + \sqrt{8y^2 + 14yz + 3z^2} + \sqrt{8z^2 + 14xz + 3x^2} \le 3x + 2y + 3y + 2z + 3z + 2x
    => A \le 5x + 5y + 5z
    => A \le 5 (x+y+z) (**1)
    Vì x;y;z là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức BCS ta có :
    (1.x+1.y+1.z)^2 \le (1^2+1^2+1^2) . (x^2+y^2+z^2)
    => (x+y+z)^2 \le 3 (x^2 + y^2+z^2)
    Mà x^2+y^2+z^2=3 nên ta có :
    (x+y+z)^2 \le 3 . 3
    => (x+y+z)^2 \le 9
    => x+y+z \le 3 (**2)
    Từ (**1) và (**2) ta có : A \le 5.3
    =>A \le 15
    Dấu = xảy ra <=> x=y=z=1
    Vậy \text{Max}_A = 15 <=>x = y = z = 1

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Ðông Nghi

About Ðông Nghi