Toán Lớp 12: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = ln x và (D) là một tiếp tuyến bất kỳ của (C). Chứng mình rằng trên khoảng (0, +∞); (C) nằm ở phía dưới

Question

Toán Lớp 12:  Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = ln x và (D) là một tiếp tuyến bất kỳ của (C). Chứng mình rằng trên khoảng (0, +∞); (C) nằm ở phía dưới đường thẳng (D).

tuminh25 · Answer

Giả sử M(x 0 , lnx 0 ) &isin; (C) (x 0  > 0 )   Ta c&oacute;:         y  &prime;   =     1  x        y&prime;=1x     Tiếp tuyến của (C) tại M c&oacute; phương tr&igrave;nh l&agrave;:        y  =     1       x  0          (  x  &minus;     x  o     )  +  ln     x  0        y=1x0(x&minus;xo)+ln⁡x0     Vậy với mọi x &isin; (0,+&infin;), ta cần chứng minh:                        1       x  0          (  x  &minus;     x  0     )  +  ln     x  0     &ge;  ln  x      &hArr;     x       x  0          &minus;  1  &minus;  ln     x       x  0          &ge;  0        1x0(x&minus;x0)+ln⁡x0&ge;ln⁡x&hArr;xx0&minus;1&minus;ln⁡xx0&ge;0      Đặt        t  =     x       x  0          >  0     t=xx0>0     X&eacute;t h&agrave;m số        g  (  t  )  =  t  &ndash;  ln  t     g(t)=t&ndash;ln⁡t     với t > 0            g  &prime;   =  1  &minus;     1  t     =       t  &minus;  1    t          g  &prime;   =  0  &hArr;  y  =  t  =  1        g&prime;=1&minus;1t=t&minus;1tg&prime;=0&hArr;y=t=1      Bảng biến thi&ecirc;n       Từ bảng biến thi&ecirc;n ta c&oacute;        g  (  t  )  &ge;  1     g(t)&ge;1     với mọi        t  &isin;  (  0  ,  +    &infin;    )     t&isin;(0,+&infin;)          &rArr;  t  &minus;  ln  t  &minus;  1  &ge;  0  &rArr;     x       x  0          &minus;  1  &minus;  ln     x       x  0          &ge;  0     &rArr;t&minus;ln⁡t&minus;1&ge;0&rArr;xx0&minus;1&minus;ln⁡xx0&ge;0   với mọi        x  >  0     x>0     Vậy tr&ecirc;n        (  0  ;  +    &infin;    )     (0;+&infin;)     (C) nằm ph&iacute;a dưới đường thẳng (D)    cho 5 sao nha