Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 9: Cho một đường tròn tâm (O), đường kính AB (AB = 2R), trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn. Vẽ 2 tiếp tuyến Ax và By vớ

Tháng Chín 20, 2022 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 9: Cho một đường tròn tâm (O), đường kính AB (AB = 2R), trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn. Vẽ 2 tiếp tuyến Ax và By với đường tròn. Lấy điểm M bất kì trên nửa đường tròn. Kẻ tiếp tuyến thứ 3 tại M, cắt Ax và By lần lượt tại C và D.
a) CMR: ΔOCD vuông và tích AC . BD ko phụ thuộc vào vị trí của M
b) AM cắt OC tại E, BM cắt OD tại F. Tứ giác MEOF là hình gì?
c) Tứ giác AEFO là hình gì? Tứ giác AEFB là hình gì?
d) CMR: EC . EO + FD . FO = R ²
e) CM: AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔOCD
(CÓ VẼ HÌNH NHA MN)

Comments ( 2 )

  1. dananhnhu2k4
    dananhnhu2k4
    20 Tháng Chín, 2022 at 6:26 chiều
    Reply
    a) $AC;MC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $C$ ($A;M$ là hai tiếp điểm)
    =>AC=MC
    \qquad OC là phân giác của \hat{AOM}
    =>\hat{AOM}=2\hat{COM}
    $\\$
    BD;MD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $D$ ($B;M$ là hai tiếp điểm)
    =>BD=MD
    \qquad OD là phân giác của \hat{BOM}
    =>\hat{BOM}=2\hat{DOM}
    Ta có:
    \qquad \hat{AOM}+\hat{BOM}=180° (hai góc kề bù)
    =>2\hat{COM}+2\hat{DOM}=180°
    =>\hat{COM}+\hat{DOM}=90°
    =>\hat{COD}=90°
    =>∆OCD vuông tại O
    $\\$
    Xét $∆OCD$ vuông tại $O$ có $OM\perp CD$ 
    =>MC.MD=OM^2 (hệ thức lượng)
    Vì $AC=MC; BD=MD$
    =>AC.BD=R^2 không đổi 
    Vậy tích AC.BD=R^2 không phụ thuộc vào vị trí M
    $\\$
    b) Vì $AC=MC$  (câu a)
    \qquad OA=OM=R
    =>OC là trung trực của AM
    =>OC$\perp AM$
    Mà AM cắt OC tại E
    =>OC$\perp AM$ tại $E$
    =>\hat{OEM}=90°
    $\\$
    Vì $BD=MD$ (câu a)
    \qquad OB=OM=R
    =>OD là trung trực của BM
    Mà BM cắt OD tại F
    =>OD$\perp BM$ tại $F$
    =>\hat{OFM}=90°
    $\\$
    Xét tứ giác MEOF có:
    \hat{EO F}=\hat{OEM}=\hat{O FM}=90°
    =>ME O F là hình chữ nhật 
    $\\$
    c) Vì $OC$ là trung trực của AM (câu b)
    =>E là trung điểm $AM$
    Vì OD là trung trực của BM (câu b)
    =>F là trung điểm $BM$
    Xét $∆MAB$ có $E;F$ lần lượt là trung điểm $AM;BM$
    =>E F là đường trung bình của ∆MAB
    =>E F//$AB$; EF=1/ 2 AB=AO
    =>E F//$AO$; E F=AO
    =>A E F O là hình bình hành (có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
    $\\$
    Vì E F//$AB$
    =>AE FB là hình thang
    $\\$
    d) Xét $∆OAC$ vuông tại $A$ có $AE\perp OC$
    =>EC.EO=AE^2 (hệ thức lượng)
    $\\$
    Xét $∆OBD$ vuông tại $B$ có $B F\perp OD$
    =>FD.FO=BF^2 (hệ thức lượng)
    $\\$
    MEOF là hình chữ nhật
    =>OM=E F; \hat{EM F}=90°
    =>∆EMF vuông tại M
    =>ME^2+MF^2=E F^2 (định lý Pytago)
    Ta có:
    =>EC.EO+FD.FO
    =AE^2+BF^2
    =ME^2+MF^2 (vì E;F lần lượt là trung điểm $AM;BM$)
    =E F^2=OM^2=R^2
    Vậy EC . EO + FD . FO = R^2 
    $\\$
    e) Gọi I là trung điểm $CD$
    =>OI là trung tuyến $∆OCD$ vuông tại $O$
    =>OI=CI=DI={CD}/2 
    =>I là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆OCD$ (*)
    $\\$
    Vì $AC$//$BD$ (cùng $\perp AB$)
    =>ABDC là hình thang
    Mà O;I lần lượt là trung điểm $AB;CD$
    =>OI là đường trung bình hình thang $ABDC$
    =>OI//$AC$//$BD$
    Mà $AB\perp AC$
    =>AB$\perp OI$ tại O(**)
    Từ (*);(**)=>AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn ngoại tiếp ∆OCD

    toan-lop-9-cho-mot-duong-tron-tam-o-duong-kinh-ab-ab-2r-tren-cung-mot-nua-mat-phang-bo-ab-chua-n

  2. maianhtuanh
    maianhtuanh
    20 Tháng Chín, 2022 at 6:25 chiều
    Reply
    a) Vì Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O)
    By là tiếp tuyến của đường tròn (O)
    Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
    OC là tia phân giác của $\widehat{AOM}$
    OD là tia phân giác của $\widehat{BOM}$
    Mà $\widehat{AOM}$ và $\widehat{BOM}$ là hai goác kề bù
    $\Rightarrow$ OC ⊥ OD
    $\Rightarrow$ $\widehat{COD}$ = $90^o$
    $\Rightarrow$ ΔCOD vuông tại O
    Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
    CM = AC; DM = BB
    $\Rightarrow$ AC . BD = CM . DM
    Áp dụng hệ thức lượng vào ΔCOD vuông tại O ta có:
    CM . MD = OM² = R²
    $\Rightarrow$ AC . BD = R²
    Vậy tích AC . BD không phụ thuộc vào vị trí của M
    b) Ta có:
    CM = CA (cmt)
    OM = OB(= R)
    $\Rightarrow$ OD là đường trung trực của BM
    $\Rightarrow$ OD ⊥ BM
    $\Rightarrow$ $\widehat{OFM}$ = $90^o$
    Xét tứ giác MEOF có:
    $\widehat{OEM}$ = $\widehat{EOF}$ = $\widehat{OFM}$ = $90^o$
    $\Rightarrow$ MEOF là hình chữ nhật
    c) Ta có:
    E là giao điểm AM và OC
    F là giao điểm BM và OD
    $\Rightarrow$ E là trung điểm của AM
    $\Rightarrow$ F là trung điểm của MB
    $\Rightarrow$ $EF // AB$, $EF = $ $\dfrac{1}{2}AB$ =OA
    $\Rightarrow$ $EF // OA$, EF = OA
    $\Rightarrow$ Tứ giác AEFO là hình bình hành
    Vì $EF // AB$ nên AEFB là hình thang
    d) Vì CD là tiếp điểm của OM
    $\Rightarrow$ CD ⊥ OM
    Áp dụng hệ thức lượng vào ΔOCM vuông tại M đường cao ME:
    EC . EO = ME²
    Áp dụng hệ thức lượng vào ΔOMD vuông tại M đường cao MF:
    FD . FO = MF²
    Do đó: EC . EO + FD . FO = ME² + MF² (1)
    Áp dụng định lý Py-ta-go vào ΔMEF vuông tại M:
    ME²+MF²=Ȳ=AO=R² (2)
    Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ EC . EO + FD . FO = R² (đpcm)
    e) Gọi I là trung điểm của CD
    ΔCOD vuông tại O
    $\Rightarrow$ ΔCOD nội tiếp đường tròn đường kính CD
    hay (I, IO) ngoại tiếp ΔCOD 
    Vì Ax, By là hai tiếp tuyến của (O)
    $\Rightarrow$ Ax ⊥ AB; By ⊥AB
    $\Rightarrow$ $Ax // By hay $AC // BD$
    $\Rightarrow$ Tứ giác ACDB là hình thang
    Mà I, O lần lượt là trung điểm của CD, AB 
    $\Rightarrow$ IO là đường trung bình của hình thang ACDB
    $\Rightarrow$  $IO // AC$ 
    Mà AC ⊥ AB 
    $\Rightarrow$ IO⊥AB tại O
    $\Rightarrow$ AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔCOD 
    $P_{ABDC} = AC + CD + DB + BA$
    $P_{ABDC} = MC + DM + CD + 2.R$
    $P_{ABDC} = 2.CD + 2.R$
    $S_{ABDC} = \dfrac{(AC+BD).AB}{2}=\dfrac{CD.2R}{2}=CD.R$
    $\Rightarrow$ $P_{ABDC}$; $S_{ABDC}$ nhỏ nhất
    $\Leftrightarrow$ CD nhỏ nhất
    Mà ABDC là hình thang vuông
    $\Rightarrow$ CD ≥ AB
    CD nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ CD = AB
    $\Rightarrow$ ABDC là hình chữ nhật 
    $\Rightarrow$ $AB//CD$
    Mà OM⊥CD $\Rightarrow$ OM⊥AB
    $\Rightarrow$ M nằm chính giữa $\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$

    toan-lop-9-cho-mot-duong-tron-tam-o-duong-kinh-ab-ab-2r-tren-cung-mot-nua-mat-phang-bo-ab-chua-n

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Kim Xuân

About Kim Xuân