Toán Lớp 8: cho tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AI.Gọi D là điểm đói xứng với i qua AC,K là điểm dối xứng với I qua AB.ID cắt AC tại N,IK cắt AB tại M
a) CM:MN=AI
b)CM:tứ giác ADIC là hình thoi
c) Với đk nào của tam giác ABC thì tứ giác ADIC là hình vuông?
d) CM :3 điểm K,A,D thẳng hàng
Leave a reply
Comments ( 1 )
Giải đáp:
a) $MN=AI$
b) Tứ giác ADIC là hình thoi
c) Để tứ giác ADIC là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A
d) K, A, D thẳng hàng
Lời giải và giải thích chi tiết:
a)
Ta có: K đối xứng với I qua AB, M là giao điểm của IK và AB
$\to AB\bot IK$ tại M, M là trung điểm của IK
Tương tự
$\to AC\bot ID$ tại N, N là trung điểm của ID
Xét tứ giác AMIN:
$\widehat{MAN}=90^o\,\,\,(AB\bot AC)\\\widehat{AMI}=90^o\,\,\,(IM\bot AB)\\\widehat{ANI}=90^o\,\,\,(IN\bot AC)$
$\to$ Tứ giác AMIN là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)
$\to MN=AI$
b)
Xét $\triangle ABC$:
$IN//AB\,\,\,(\bot AC)$
I là trung điểm của BC (gt)
$\to$ IN là đường trung bình của $\triangle ABC$
$\to$ N là trung điểm của AC
Tương tự $\to$ M là trung điểm của AB
Xét tứ giác ADIC:
N là trung điểm của ID (cmt)
N là trung điểm của AC (cmt)
$\to$ Tứ giác ADIC là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Mà $IN\bot AC\to ID\bot AC$
$\to$ Tứ giác ADIC là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)
c)
Tứ giác ADIC là hình thoi (cmt)
$\to$ Để tứ giác ADIC là hình vuông
$\to AI\bot IC\to AI\bot BC$
$\to$ AI là đường cao của $\triangle ABC$
Mà AI là trung tuyến của $\triangle ABC$
$\to\triangle ABC$ cân tại A
$\to$ Để tứ giác ADIC là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A
d)
Xét tứ giác AIBK:
M là trung điểm của AB (cmt)
M là trung điểm của IK (cmt)
$\to$ Tứ giác AIBK là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Mà $IM\bot AB\to IK\bot AB$
$\to$ Tứ giác AIBK là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)
$\to AK//BI\to AK//BC$ (2)
Ta có: Tứ giác ADIC là hình thoi (cmt)
$\to AD//IC\to AD//BC$ (2)
Từ (1), (2) $\to$ K, A, D thẳng hàng (theo tiên đề Oclit)