Toán Lớp 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên các đoạn SO, SD sao cho SM/SO = SN/SD = m/n, (m,n ∈ N*). Điểm E là trung điểm của BC. Biết thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(MNE) đi qua trung điểm cạnh SA. Giá trị m+n bằng
Leave a reply
Comments ( 1 )
Trong tam giác $SOD$ có (SM)/(SO)=(SN)/(SD)=m/n nên theo định lý Thales đảo ta được $MN//OD$
Trong mặt phẳng $(SBD)$: $MN$ cắt $SB$ tại $P$
Mặt phẳng $(MNE)$ và $(ABCD)$ có điểm chung thứ nhất là $E$. Lại có $MN//BD$ nên giao tuyến của $(MNE)\cap (ABCD)$ là đường thẳng qua $E$ và song song với $BD$ cắt $CD$ và $AD$ lần lượt tại $H$ và $F$
$FN$ cắt $SA$ tại $G$.
$\left\{ \begin{array}{l} \left( {MNE} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = EH\\ \left( {MNE} \right) \cap \left( {SBC} \right) = EP\\ \left( {MNE} \right) \cap \left( {SCD} \right) = NH\\ \left( {MNE} \right) \cap \left( {SAD} \right) = GN\\ \left( {MNE} \right) \cap \left( {SAB} \right) = PG \end{array} \right.$
Thiết diện là ngũ giác $NGPEH$.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $SAD$ với $\overline{F,N,G}$
$\begin{array}{l}
\dfrac{{FD}}{{FA}}.\dfrac{{GA}}{{GS}}.\dfrac{{NS}}{{ND}} = 1\\
\Leftrightarrow \dfrac{{FD}}{{FA}}.1.\dfrac{{NS}}{{ND}} = 1\\
\Leftrightarrow \dfrac{{NS}}{{ND}} = \dfrac{{FA}}{{FD}}\\
\dfrac{{FD}}{{EC}} = \dfrac{{DH}}{{HC}} = \dfrac{{BE}}{{EC}} = 1\\
\Rightarrow FD = EC = \dfrac{1}{2}AD\\
\Rightarrow \dfrac{{FD}}{{AD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{FD}}{{FA}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{FA}}{{FD}} = 3\\
\Rightarrow \dfrac{{NS}}{{ND}} = 3 \Rightarrow \dfrac{{SN}}{{SN + ND}} = \dfrac{3}{{3 + 1}} = \dfrac{3}{4}\\
\Rightarrow \dfrac{{SN}}{{SD}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow m = 3,n = 4 \Rightarrow m + n = 7
\end{array}$