Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 9: Cho `a ; b ;c > 0` thỏa mãn `a+b+c=3` Chứng minh rằng : `3 (1/a + 1/b+1/c-1)^2 + 1 \ge 4/(abc) + 3 (a/(bc) + b/(ca) + c/(ab) )`

Tháng Một 21, 2023 Toán học 1 Comment 0 views

Toán Lớp 9: Cho a ; b ;c > 0 thỏa mãn a+b+c=3
Chứng minh rằng : 3 (1/a + 1/b+1/c-1)^2 + 1 \ge 4/(abc) + 3 (a/(bc) + b/(ca) + c/(ab) )

Comments ( 1 )

  1. hauthanhyen98
    hauthanhyen98
    21 Tháng Một, 2023 at 1:54 sáng
    Reply
    Đặt x = 1/a ; y = 1/b ; z = 1/c
    => 1/x + 1/y + 1/z = 3 (1)
    BĐT <=> 3(x + y + z – 1)^2 + 1 ≥ 4xyz + 3((xy)/z + (yz)/x + (xz)/y) (2)
    Đặt p = x+ y + z + q = xy + yz +xz ; r = xyz
    (Δ) <=> q = 3r
    Mà (xy)/z + (yz)/x + (xz)/y = xyz ( 1/x^2 + 1/y^2 + 1/z^2) = xyz[(1/x + 1/y + 1/z)^2 – 2/(xy) – 2/(yz) – 2/(xz)]
    => (2) <=> 3(p – 1)^2 + 1 ≥ 4r + 3 (9r – 2p)
              <=> 3p^2 + 4 ≥ 31r
    Mà ta có : (xy + yz + xz)^2 ≥ 3(x + y + z).xyz
    hay q^2 ≥ 3pr
    <=> q ≥ r
    Áp dụng BĐT Schur : p^3 + 9r ≥ 4pq
    => p^3 ≥ 4pq – 9r = 4pq – 3q
    => p^3/(4p – 3) ≥ q – 3r
    <=>( 31p^3)/3(4p – 3) ≥ r
    Ta cần chứng minh : 3p^2 + 4 ≥ (31p^3)/3(4p – 3)
    <=> (p – 3)( 5p^2 + 2p + 12) ≥ 0
    Mà 5p^2 – 12p + 12 ≥ 0
    => Cần chứng minh p ≥ 3
    Mà 3xyz = xy + yz + xz ≥ 3 $\sqrt[3]{xyz}$ 
    => xyz ≥ 1 hay r ≥ 1
    Mà p^2 ≥ 3q – 9r ≥ 9
    nên p ≥ 3
    => ĐPCM

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Ðan Khanh

About Ðan Khanh