Toán Lớp 8: Cho a,b,c ≥ 0 và a^2+b^2+c^2 = 3 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A=ab+ bc+ca- abc

Question

Toán Lớp 8:  Cho a,b,c ≥ 0 và a^2+b^2+c^2 = 3 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của A=ab+ bc+ca- abc

giahan44 · Answer

Câu trả lời của mình: Do a2+b2+c2=3⇒a2+b2+c2=3⇒ trong 3 số có ít nhất 1 số không lớn hơn 1

Không mất tính tổng quát, giả sử số đó là a ⇒1−a≥0⇒1−a≥0

⇒P=a(b+c)+bc(1−a)≥a(b+c)≥0⇒P=a(b+c)+bc(1−a)≥a(b+c)≥0

⇒Pmin=0⇒Pmin=0 khi (a;b;c)=(0;0;√3)(a;b;c)=(0;0;3) và hoán vị

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số luôn có 2 số nằm không khác phía so với 1, giả sử đó là b và c

⇒(b−1)(c−1)≥0⇔bc+1≥b+c⇒(b−1)(c−1)≥0⇔bc+1≥b+c

⇔abc+a≥ab+ac⇔a≥ab+ac−abc⇔abc+a≥ab+ac⇔a≥ab+ac−abc

⇒P=bc+ab+ac−abc≤bc+a⇒P=bc+ab+ac−abc≤bc+a

⇒P2≤(b.c+a.1)2≤(b2+a2)(c2+12)≤14(b2+a2+c2+1)2=4⇒P2≤(b.c+a.1)2≤(b2+a2)(c2+12)≤14(b2+a2+c2+1)2=4

⇒P≤2⇒Pmax=2⇒P≤2⇒Pmax=2 khi a=b=c=1

Comments ( 1 )