Toán Lớp 9: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A. Một tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm B cắt (O’) tại C và D (C

Question

Toán Lớp 9:  Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A. Một tiếp tuyến  của đường tròn (O) tại điểm B cắt (O’) tại C và D (C nằm giữa B và D). Các tia CA, DA cắt  (O) tại E và F.Kẻ tiếp tuyến chung yAx, Gọi M là điểm chính giữa của cung CD, chứng minh góc MAB=90 độ

catlantuong · Answer

a) Trong đường tr&ograve;n (O) ta c&oacute; OI l&agrave; tia ph&acirc;n gi&aacute;c    của g&oacute;c AID ( t&iacute;nh chất hai tiếp tuyếnc cắt nhau)   Trong đường tr&ograve;n (O&rsquo;) ta c&oacute; O&rsquo;I l&agrave; tia ph&acirc;n gi&aacute;c của g&oacute;c AIE ((t&iacute;nh chất hai tiếp tuyến cắt nhau)   &THORN; IO &perp; IO&rsquo; ( t&iacute;nh chất kề b&ugrave;)   Suy ra:             &circ;       O    I      O      &prime;            =      90      ∘       OIO&prime;^=90∘     hay             &circ;       M    I    N          =      90      ∘       MIN^=90∘     Lại c&oacute;: IA = ID ((t&iacute;nh chất hai tiếp tuyến cắt nhau)   Suy ra tam gi&aacute;c ADI c&oacute; IO l&agrave; ph&acirc;n gi&aacute;c của g&oacute;c AID n&ecirc;n IO cũng l&agrave; đường cao của tam gi&aacute;c AID.   Suy ra: IO &perp; AD hay             &circ;       A    M    I          =      90      ∘       AMI^=90∘     Mặt kh&aacute;c: IA = IE ((t&iacute;nh chất hai tiếp tuyến cắt nhau)   Suy ra tam gi&aacute;c AEI c&acirc;n tại I.   Tam gi&aacute;c c&acirc;n AIE c&oacute; IO&rsquo; l&agrave; ph&acirc;n gi&aacute;c của g&oacute;c AIE n&ecirc;n IO&cent; cũng l&agrave; đường cao của tam gi&aacute;c AIE.       Quảng c&aacute;o       Suy ra: IO&rsquo; &perp; AE hay             &circ;       A    N    I          =      90      ∘       ANI^=90∘     Tứ gi&aacute;c AMIN c&oacute; ba g&oacute;c vu&ocirc;ng n&ecirc;n n&oacute; l&agrave; h&igrave;nh chữ nhật.   b) Tam gi&aacute;c AIO vu&ocirc;ng tại A c&oacute; AM &perp; IO.   Theo hệ thức lượng trong tam gi&aacute;c vu&ocirc;ng, ta c&oacute;:    IA 2    = IM.IO               (1)   Tam gi&aacute;c AIO&rsquo; vu&ocirc;ng tại A c&oacute; AN &perp; IO&rsquo;.   Theo hệ thức lượng trong tam gi&aacute;c vu&ocirc;ng, ta c&oacute;:   IA 2    = IN.IO&rsquo;                (2)   Từ (1) v&agrave; (2) suy ra: IM.IO = IN.IO&rsquo;   c) Ta c&oacute;: IA = ID = IE ( chứng minh tr&ecirc;n)   Suy ra A nằm tr&ecirc;n đường tr&ograve;n t&acirc;m I đường k&iacute;nh DE.   V&igrave; OO&rsquo; &perp; IA tại A n&ecirc;n OO&rsquo; l&agrave; tiếp tuyến của đường tr&ograve;n         (      I    ;           D    E        2           )     .     (I;DE2).     d) Tam gi&aacute;c O&rsquo;IO vu&ocirc;ng tại I c&oacute; IA &perp; OO&rsquo;.   Theo hệ thức lượng trong tam gi&aacute;c vu&ocirc;ng, ta c&oacute;:            IA 2    = OA.O&rsquo;A = 5.3,2 = 16   Suy ra: IA = 4 (cm). M&agrave; DE = 2IA n&ecirc;n DE = 2.4 = 8 (cm).