Toán Lớp 8: Cho tam giác ABC . Đường cao AM,BN.CP cắt nhau tại H a) CM AB.BP + AC.CN=BC^2 b) BC cố định,điểm A thay đổi . Tìm vị trí của điểm A để

Question

Toán Lớp 8:  Cho tam giác ABC . Đường cao AM,BN.CP cắt nhau tại H a) CM AB.BP + AC.CN=BC^2 b) BC cố định,điểm A thay đổi . Tìm vị trí của điểm A để MH.MA có giá trị lớn nhất

huyenmi76 · Answer

Vẽ các đường kính AM, BN, CP của (O). Dễ cm được BMCH, CNAH,APBH là các hình bình hành => AH = CN; BH = CM; CH = BM

=> AH + BH + CH = CN + CM + BM

Vì BC cố định nên CN không đổi => (AH + BH + CH) max khi (CM + BM) max. Ta sẽ cm rằng điều đó xảy ra khi M trùng điểm chính giữa cung nhỏ BC.

Thật vậy gọi Q là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Kéo dài BQ đoạn QD = BQ = CQ, kéo dài BM đoạn ME = MC => BD = BQ + CQ = 2BQ và BE = BM + CM

Vì tg CQD cân tại Q => ^BDC = ^QCD = ^BQC/2

Tương tự tg CME cân tại M => ^BEC = ^MCE = ^BMC/2

Mà ^BMC = ^BQC => ^BEC = ^BDC => B,C,D,E cùng thuộc đường tròn đường kính BD => BE =< BD <=> BM + CM =< 2BQ => (BM + CM)

Max = 2BQ xảy ra khi E trùng D hay khi M trùng Q khi đó A là điểm chính giữa cung lớn BC