Toán Lớp 8: Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP. Qua N vẽ một đường thẳng vuông góc vớ

Question

Toán Lớp 8:  Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP. Qua N vẽ một đường thẳng vuông góc với MP cắt AD tại Q. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình vuông.

tongtung · Answer

Ta có: AB = BC = CD = DA (gt)
AM = BN = CP = DQ (gt)
Suy ra: PD = QA = MB = NC
* Xét △CPN và △DQP,ta có:
CP = DQ (gt)
góc (PCN) = góc (PDQ) = 90°
NC = DP (chứng minh trên)
Suy ra: △CPN = △DQP (c.g.c) ⇒ PN = PQ (1)
* Xét △DQPvà △AMQ,ta có: DQ=AM (gt)
góc(QDP) =  △(MAQ) = 90°
PD = QA ( chứng minh trên)
Suy ra: △DQP = △AMQ (c.g.c) ⇒ PQ = QM (2)
* Xét △AMQ và △BNM,ta có: AM=BN (gt)
góc A = góc B = 90 độ
BM = AQ ( chứng minh trên)
Suy ra: △AMQ = △BNM (c.g.c) ⇒ QM = MN (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: QP =PN = NM = MQ
Hay tứ giác MNPQ là hình thoi.
Mặt khác: △CPN = △PDQ
⇒  △(CNP) =  △(DPQ)
Mà △(CNP) +  △(CPN) = 90 độ
⇒ △(DPQ) +  △(CPN) = 90 độ
Ta có:  △(DPQ) + △(QPN) +  △(NPC ) = 180 độ
Suy ra:  △(QPN ) = 180° -( △(DPQ ) +  △(NPC) )= 180° – 90° = 90°
Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.
#????????????????????????✿