Toán Lớp 9: Cho `a; b; c` là các số thực không âm thỏa mãn `: ab + bc + ca = 3` và `a ≥ c`. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : `P = 1/(a + 1)^2

Question

Toán Lớp 9:  Cho a; b; c là các số thực không âm thỏa mãn : ab + bc + ca = 3 và a  ≥ c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = 1/(a + 1)^2 + 2/(b + 1)^2 + 3/(c + 1)^2

minhtamnguyet88 · Answer

Giải đáp v&agrave; giải th&iacute;ch c&aacute;c bước giải    $m^{2}$+$n^{2}$ +$p^{2}$ $ geq$ mn +np +pm (1) : ( m+n+p)&sup2;$ geq$ 3 ( mn + np + pm ) (2)   Đặt X  = $ frac{1}{a+1}$ ; Y = $ frac{1}{b+1}$ : Z = $ frac{1}{c+1 }$ ( X , Y , Z )    V&Igrave; a $ geq$ c &rArr; z $ geq$ X n&ecirc;n P = $X^{2}$ + 2Y&sup2;+ 3Z&sup2;$ geq$ 2 ( X&sup2;+Y&sup2;+Z&sup2;)  $ geq$ 2 ( XY + YZ + ZX) ( bổ đề 1 )    &Aacute;p dụng đẳng thức AM - GM , ta c&oacute; 3 = ab + bc + ca $ geq$  $ sqrt[3]{a}$ $^{2}$ $b^{2}$ $c^{2}$ = 3abc .   &Aacute;p dụng bổ đề ( 2 ) &rArr; a + b + c $ geq$ 3 . &rArr; a + b + c $ geq$ 3abc    Do đ&oacute; XY + YZ = $ frac{3 (a + b + c + 3 ) }{3abc +3 ( a+b+c ) +12 }$ $ geq$ $ frac{3 ( a +b + c + 3 ) }{4 ( a + b + c + 3 ) }$ = $ frac{3}{4}$    &rArr; P $ geq$ 2 &middot;$ frac{3 }{4 }$ = $ frac{3}{2 }$    Dấu đẳng thức xảy ra khi v&agrave; chỉ khi X = Y = z &hArr; a = b = c = 1    Vậy gi&aacute; trị nhỏ nhất của P = $ frac{3}{2}$ &hArr; a=b=c=1    @ngock9cute    #hoidap247

ngocle44 · Answer

Giải đáp v&agrave; giải th&iacute;ch c&aacute;c bước giải: