Toán Lớp 8: Cho các số thực thỏa mãn x ²+y ²=5 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P=3x ²-4xy

Question

Toán Lớp 8:  Cho các số thực thỏa mãn x ²+y ²=5 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P=3x ²-4xy

myngocla · Answer

$ $ Tìm GTNN của P P=3x^2-4xy <=>P=3x^2-4xy+5-5 <=>P = 3x^2 - 4xy +x^2+y^2-5 <=> P=4x^2-4xy+y^2-5 <=>P=(2x)^2-2.2x.y+y^2-5=(2x-y)^2-5 Do (2x-y)^2 ge 0 ∀x,y => (2x-y)^2-5 ge -5 ∀x,y =>P ge -5 ∀x,y Dấu '=' xảy ra khi : (2x-y)^2=0<=>2x-y<=>2x=y 2x=y<=>4x^2=y^2 <=> x^2+4x^2=5 <=>5x^2=5 <=>x^2=1 <=>x=±1 Do đó : y=±2 Vậy min P=-5<=>(x;y)=(1;2),(-1;-2) Tìm GTLN của P P=3x^2-4xy <=>P=3x^2-4xy - 20 +20 <=>P=3x^2-4xy - 4 (x^2+y^2)+20 <=>P=3x^2-4xy-4x^2-4y^2+20 <=>P=-x^2 -4xy-4y^2 + 20 =- (x^2+4xy+4y^2)+20 <=>P=-(x+2y)^2+20 ≤ 20∀x,y Dấu '=' xảy ra khi : (x+2y)^2=0<=>x=-2y <=>x^2=4y^2 <=> 4y^2+y^2=5 <=>5y^2=5 <=>y^2 = 1 <=> y=±1 Do đó x=±2 Vậy max P=20<=>(x;y)=(1;-2),(-2;1)

hatuanlan · Answer

Giải đáp:+Lời giải và giải thích chi tiết:   *$GTNN$   $Ta$ $c&oacute;$ :   $ left  { {{P = 3x&sup2; - 4xy (1)}  atop {5 = x&sup2; + y&sup2; (2)}}  right.$     &rArr;    $ P + 5$ = $3x &sup2; - 4xy + (x&sup2; + y&sup2;)$ = $4x&sup2; - 4xy +  y&sup2;$ = $(2x - y)&sup2;$ &ge; $0   &hArr; P &ge; - 5$     $Vậy$ $GTNN$ $của$ $P$ $= - 5$ $khi$ $2x - y = 0$ &hArr; $y = 2x $ $v&agrave;$ :      Thay $y = 2x $ $v&agrave;o$(2):  $x^2+(2x)^2$ $= 5 $      &hArr; $5x^2$ = 5      &rArr;&rArr; ( left[  begin{array}{l} left  { {{x=1}  atop {y=2}}  right.    left  { {{x=-1}  atop {y=-2}}  right.  end{array}  right. )      ---------------------------     *$GTLN$     $Ta$ $c&oacute;$ :      $ left  { {{P = 3x&sup2; - 4xy (1)}  atop {5 = x&sup2; + y&sup2; (2)}}  right.$     &hArr;$ left  { {{P = 3x&sup2; - 4xy (1)}  atop {20= 4(x&sup2; + y&sup2;) (2)}}  right.$    &rArr;$P - 20$ = $3x &sup2; - 4xy - 4(x&sup2; + y&sup2;)$ = $- x&sup2; - 4xy - 4y&sup2;$ = $- (x + 2y)&sup2;$ &le; $0$   &hArr; $P &le; 20$     $Vậy$ $GTLN$ $của$ $P = 20$ $khi$ $x + 2y = 0$ &hArr; $x = - 2y$      $Thay$ $v&agrave;o$ (2): (-2y)&sup2; + y&sup2;  = 5 &hArr; $5y^2$ = $5$      &rArr;&rArr; ( left[  begin{array}{l} left  { {{x=-2}  atop {y=1}}  right.    left  { {{x=2}  atop {y=-1}}  right.  end{array}  right. )       #Chuc_em_hoc_tot       @bqc