Toán Lớp 12: Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$, biết khoảng cách từ đỉnh $A$ đến mặt phẳng ($SBC$) bằng $2a$. Tìm giá trị góc giữa hai mặt bên và m

Question

Toán Lớp 12:  Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$, biết khoảng cách từ đỉnh $A$ đến mặt phẳng ($SBC$) bằng $2a$. Tìm giá trị góc giữa hai mặt bên và mặt đáy của khối chóp sao cho thể thích khối chóp nhỏ nhất. $A$. $0^ circ$. $B$. $90^ circ$. $C$. $ arccos sqrt{ dfrac23}$. $D$. $ arcsin sqrt{ dfrac23}$.

dananhnhu2k4 · Answer

Giải đáp:   $D.   arcsin sqrt{ dfrac23}$   Lời giải và giải thích chi tiết:   Gọi $O$ l&agrave; t&acirc;m của đ&aacute;y   $ Rightarrow SO perp (ABCD)$   Gọi $M$ l&agrave; trung điểm $BC$   $ Rightarrow  begin{cases}OM perp BC  SM perp BC end{cases}$   $ Rightarrow  widehat{((SBC);(ABCD))}= widehat{SMO}$   Kẻ $OH perp SM$   Ta c&oacute;:   $ begin{cases}BC perp SM  SO perp BC end{cases}$   $ Rightarrow BC perp (SOM)$   $ Rightarrow BC perp OH$   $ Rightarrow OH perp (SBC)$   $ Rightarrow OH = d(O;(SBC))$   Lại c&oacute;:   $OA = dfrac12AC$   $ Rightarrow d(O;(SBC))= dfrac12d(A;(SBC))= a$   Đặt $OM = x quad (x> 0)$   $ Rightarrow BC = 2OM = 2x$   $ Rightarrow S_{ABCD}= 4x^2$   &Aacute;p dụng hệ thức lượng trong $ triangle SOM$ vu&ocirc;ng tại $O$ đường cao $OH$ ta được:   $ quad  dfrac{1}{OH^2}= dfrac{1}{SO^2} + dfrac{1}{OM^2}$   $ Rightarrow SO = dfrac{OH.OM}{ sqrt{OM^2 - OH^2}}$   $ Rightarrow SO = dfrac{ax}{ sqrt{x^2 - a^2}}$   Ta được:   $ quad V = dfrac13S_{ABCD}.SO =  dfrac{4ax^3}{3 sqrt{x^2 - a^2}}$   Đặt $V = f(x)=  dfrac{4ax^3}{3 sqrt{x^2 - a^2}}$   $ Rightarrow f'(x)=  dfrac{4ax^2(2x^2 - 3a^2)}{3 sqrt{(x^2-a^2)^3}}$   $f'(x)= 0  Leftrightarrow  left[ begin{array}{l}x = 0  x =  pm  dfrac{a sqrt6}{2} end{array} right.$   Tr&ecirc;n $(0;+ infty)$ ta được:   $ min f(x) = f left( dfrac{a sqrt6}{2} right)  Leftrightarrow x = dfrac{a sqrt6}{2}$   Khi đ&oacute;:   $OM = x =  dfrac{a sqrt6}{2}$   $SO =  dfrac{ax}{ sqrt{x^2 - a^2}} = a sqrt3$   $SM = sqrt{SO^2 + OM^2}=  dfrac{3a sqrt2}{2}$   $ Rightarrow  sin widehat{SMO}= dfrac{SO}{SM}=  sqrt{ dfrac{2}{3}}$   $ Rightarrow  widehat{SMO}= arcsin sqrt{ dfrac23}$