Toán Lớp 9: Với a,b,c là các sô thực dương thỏa mãn a lớn hơn hoặc bằng b+c.Tìm GTNN P = a/b+c + b/a+2c + c/a+2b

Question

Toán Lớp 9:  Với a,b,c là các sô thực dương thỏa mãn a lớn hơn hoặc bằng b+c.Tìm GTNN  P = a/b+c + b/a+2c + c/a+2b

minhhaanh · Answer

P= $ frac{a}{b+c}$ + $ frac{b}{a+2c}$ +$ frac{c}{a+2b}$ = $ frac{a}{b+c}$ + $ frac{b^2}{ab+2bc}$ +$ frac{c^2}{ac+2bc}$     &ge; $ frac{a}{b+c}$ + $ frac{(b+c)&sup2;}{a(b+c) + 4bc}$      &ge; $ frac{a}{b+c}$ + $ frac{(b+c)&sup2;}{a(b+c) + (b+c)&sup2;}$  (bđt 4xy&le; (x+y)&sup2; )     = $ frac{a}{b+c}$ + $ frac{1}{ frac{a}{b+c}+1}$     Do a&ge; b+c >0 &forall; a,b,c >0 &rArr;$ frac{a}{b+c}$ &ge; 1  Đặt $ frac{a}{b+c}$ =t ( t&ge; 1)   &rArr; P &ge; t + $ frac{1}{t+1}$ = $ frac{t+1}{4}$ + $ frac{1}{t+1}$ + $ frac{3t}{4}$ - $ frac{1}{4}$            &ge; 2$ sqrt[]{ frac{t+1}{4}. frac{1}{t+1}}$ + $ frac{3t}{4}$ - $ frac{1}{4}$ (cosi)         &ge; 1 + $ frac{3}{4}$  -$ frac{1}{4}$  ( do t&ge;1)         = $ frac{3}{2}$    Dấu '=' xảy ra &hArr;$ frac{a}{2}$ =b =c >0