Toán Lớp 8: E=x^3+y^3+x^2+y^2 tìm min E (X + Y=1)

Question

Toán Lớp 8:  E=x^3+y^3+x^2+y^2     tìm min E (X + Y=1)

dongoclandiem · Answer

Lời giải. Ta có: E=x^3+y^3+x^2+y^2 E=(x+y)(x^2+y^2-xy)+(x^2+y^2) E= 1. (x^2 + y^2 - xy ) + (x^2 + y^2) E= x^2 + y^2 - xy + x^2 + y^2 E= 2x^2 + 2y^2-xy Ta có: x+y=1=>y=1-x =>E=2x^2 + 2. (1-x)^2 - x(1-x) E=2x^2 + 2. (1-2x + x^2) - x+ x^2 E= 2x^2 + 2 - 4x + 2x^2 - x + x^2 E=5x^2- 5x + 2 E= (5x^2 - 5x + 5/4) + 3/4 E=5(x^2 -x + 1/4)+3/4 E=5[x^2 - 2. x . 1/2 + (1/2)^2]+3/4 E=5(x-1/2)^2+3/4 Có: (x-1/2)^2≥0 với mọi x =>E≥5.0+3/4=3/4 Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $ begin{cases}x- dfrac{1}{2} =0 y=1-x end{cases}$<=> $ begin{cases}x= dfrac{1}{2} y= dfrac{1}{2} end{cases}$ Vậy minE=3/4<=>x=y=1/2.

huongtructram · Answer

E=x^3+y^3+x^2+y^2 E=(x+y)^3-3xy(x+y)+(x+y)^2-2xy E=1-3xy+1-2xy E=2-5xy Lại có: (x+y)^2/4>=xy <=> -5xy>=(-5)/4. (x+y)^2=-5/4 => E>=2-5/4=3/4 Dấu = xảy ra khi {(x+y=1),(x=y):} <=> x=y=1/2 Vậy E_(min)=3/4<=>x=y=1/2