Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 9: Cho `a,b,c,d` là các số thực dương thỏa mãn : `abcd = 1`. CMR : `a` . `1/(1+a+a^2+a^3) + 1/(1+b+b^2+b^3) + 1/(1+c+c^2+c^3) + 1/(1+d+d^2

Toán Lớp 9: Cho a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn : abcd = 1. CMR :
a . 1/(1+a+a^2+a^3) + 1/(1+b+b^2+b^3) + 1/(1+c+c^2+c^3) + 1/(1+d+d^2+d^3)
≥ 1

Comments ( 1 )

  1. Giải đáp + giải thích các bước giải:
    A=1/(1+a+a^2+a^3)+1/(1+b+b^2+b^3)
    Đặt (a;b)=(x^2;y^2)
    ->A=1/(1+x^2+x^4+x^6)+1/(1+y^2+y^4+y^6)
    Ta sẽ chứng minh: A>=1/(1+x^3y^3)
    ->1/(1+x^2+x^4+x^6)+1/(1+y^2+y^4+y^6)>=1/(1+x^3y^3)
    ->(1+y^2+y^4+y^6)(1+x^3y^3)+(1+x^2+x^4+x^6)(1+x^3y^3)-(1+x^2+x^4+x^6)(1+y^2+y^4+y^6)>=0
    ->x^9y^3+x^7y^3-x^6y^6-x^6y^4-x^6y^2+x^5y^3-x^4y^6-x^4y^4-x^4y^2+x^3y^9+x^3y^7+x^3y^5+2x^3y^3-x^2y^6-x^2y^4-x^2y^2+1>=0
    Đặt (p;s)=(xy;x^2+xy+y^2)->s>=3p
    ->p^3x^6+p^3y^6+p^3x^4+p^3y^4-p^2x^4-p^2y^4-p^4x^2-p^4y^2+p^3x^2+p^3y^2-p^2x^2-p^2y^2-p^6-p^4+2p^3-p^2+1>=0
    ->(p^3x^6+p^3y^6-2p^6)+(p^3x^4+p^3y^4-p^2x^4-p^2y^4-2p^5+2p^4)+(-p^4x^2-p^4y^2+p^3x^2+p^3y^2-p^2x^2-p^2y^2+2p^5-2p^4+2p^3)+p^6-p^4-p^2+1>=0
    ->p^3(x^6+y^6-2p^3)+p^2(p-1)(x^4+y^4-2p^2)-p^2(p^2-p+1)(x^2+y^2-2p)+p^6-p^4-p^2+1>=0
    ->p^3(x^3-y^3)^2+p^2(p-1)(x^2-y^2)^2-p^2(p^2-p+1)(x-y)^2+p^6-p^4-p^2+1>=0
    ->p^2(x-y)^2[ps^2+(p-1)(x+y)^2-(p^2-p+1)]+(p^4-1)(p^2-1)>=0
    ->p^2(x-y)^2[ps^2+(p-1)(x+y)^2-p(p-1)-1]+(p^4-1)(p^2-1)>=0
    ->p^2(x-y)^2[ps^2+(p-1)s-1]+(p^4-1)(p^2-1)>=0
    ->p^2(x-y)^2(ps-1)(s+1)+(p^4-1)(p^2-1)>=0
    Dễ thấy bất đẳng thức trên đúng với ps>=1
    Xét 1>ps>=3p^2 (s>=3p)
    ->p^2<1/3
    Điều phải chứng minh trở thành: 
    (1-p^4)(1-p^2)>=p^2(x-y)^2(1-sp)(s+1)
    mà p(x-y)^2=p(s-3p)=ps-3p^2<1-p^2
    Vậy ta cần chứng minh:
    1-p^4>=p(1-sp)(s+1)
    Theo bất đẳng thức Cô-si thì p(1-sp)(s+1)<=[ps+p+1-sp]^2/4=(p+1)^2/4=(p^2+1)/4+p/2<(p^2+1)/4
    mà (p^2+1)/4-(1-p^4)=4p^4+p^2-3<4.(1/3)^4+(1/3)^2-3<0
    Vậy ta có điều phải chứng minh.
    ->A>=1/(x^3+y^3)
    ->1/(1+a+a^2+a^3)+1/(1+b+b^2+b^3)>=1/(1+(\sqrt{ab})^3)
    Tương tự:
    1/(1+c+c^2+c^3)+1/(1+d+d^2+d^3)>=1/(1+(\sqrt{cd})^3)
    ->1/(1+a+a^2+a^3)+1/(1+b+b^2+b^3)+1/(1+c+c^2+c^3)+1/(1+d+d^2+d^3)>=1/(1+(\sqrt{ab})^3)+1/(1+(\sqrt{cd})^3)=1/(1+(\sqrt{ab})^3)+1/(1+(\sqrt{1/(ab)})^3)=1/(1+(\sqrt{ab})^3)+(\sqrt{ab})^3/(1+(\sqrt{ab})^3)=1
    Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )